Formação de padrões e sincronização em osciladores Acoplados

Abstract

Resumo: Neste trabalho abordamos dois fenômenos que ocorrem em conjuntos de equações diferenciais acopladas; a formação de padrões espaço-temporais e a sincronização de osciladores não-lineares. Ambos os fenômenos advém de estruturas de rede. Aqui usamos duas interações não-locais em que o alcance do acoplamento pode ser alterado por um único parâmetro, podendo se tornar um acoplamento global (campo médio) ou local (de primeiros vizinhos). No estudo da formação de padrões consideramos em um primeiro momento uma teoria linear, que explica a ocorrência da instabilidade de Turing, e em seguida avaliamos os padrôes espaço-temporais formados quando os termos não-lineares são levados em conta, usando como exemplo o modelo de Meinhardt-Gierer para pigmentação da pele de animais. Outro objetivo do nosso trabalho é o estudo da sincronização dos neurônios no núcleo supraquiasmático (NSQ) do cérebro. A NSQ é uma estrutura multicelular que requer um ritmo uníssono para regular alguns ritmos corporais. Propomos uma descrição multi-oscilatória para o NSQ, na qual os elementos do sistema, concebido como osciladores, se comunicam através de outra interação não-local, que é uma representação de uma substância química que pode ser secretada, absorvida e difundida no meio intercelular. Ademais, mostramos sob quais condições é possível obter estados síncronos neste ente cerebral.

Abstract: In this work we address two phenomena that occur in sets of coupled differential equations; the formation of spatio-temporal patterns and the synchronization of nonlinear oscillators. Both phenomena have in common the fact that they occur in network structures. Here we use two non-local interactions in which the range of the coupling can be changed by a single parameter, interpolating from a global (all-toall) to a local (nearest-neighbor) coupling. In the study of pattern formation we first consider a linear theory explaining the occurrence of Turing instability, and then we consider the spatio-temporal patterns formed when nonlinear terms are taken into account, using as an example the Meinhardt-Gierer model for skin pigmentation in animals. Another aim of our work is the study of synchronization of neurons in the suprachiasmatic nucleus (SCN) of the brain. The SCN is a structure multicellular that requires a unison rhythm to regulate some bodily rhythms. We propose a multi-oscillatory description for the SCN, where the elements of the system, devised by oscillators, communicate through other nonlocal interaction, which is a representation of a chemical substance that can be secreted, absorbed and diffused in the intercellular medium. Furthermore we show under what conditions it is possible to have the synchronous state in the brain.