Multiextrapolação de Richardson e esquemas de 1a e 2a ordens, mistos e Crank-Nicolson sobre as esquações 2D de advecção-difusão e Fourier

Abstract

Resumo: A análise de erros é objeto de estudo de grande importância em Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD). A acurácia e a confiabilidade da solução são algumas das dificuldades relacionadas a tal investigação. Para atender essas condições, a análise assintótica de soluções numéricas provê o conhecimento do comportamento de técnicas numéricas aplicadas na solução de modelos matemáticos que descrevem problemas físicos comumente utilizados em Engenharia. O objetivo principal desse trabalho é verificar a influência de esquemas híbridos como o método de correção adiada (MCA) e o método de Crank-Nicolson, bem como o efeito de parâmetros numéricos e físicos (número de Péclet) sobre a redução do erro de discretização com multiextrapolações de Richardson (MER). Para tanto, são consideradas as equações de advecção-difusão e equação de Fourier, ambas bidimensionais com termo fonte e condições de contorno de Dirichlet. As simulações numéricas foram realizadas com base no conhecimento da solução analítica obtida com o método das soluções fabricadas (MSF). As aproximações são desenvolvidas por meio do método de diferenças finitas com esquemas de 1ª e 2ª ordens mistos (para a equação de advecção-difusão) e de Crank-Nicolson (para a equação de Fourier). Na simulação numérica é utilizada a precisão quádrupla e o critério de parada baseado na norma l1 média. Na solução do sistema de equações foi utilizado o método multigrid. Para a análise a posteriori com MER foram deduzidas as ordens verdadeiras a priori através da expansão da série de Taylor com até três termos para ambas as equações e todas as variáveis de interesse. Com base na estimativa do erro de discretização por meio de MER, malhas refinadas são criadas para alcançar a acurácia de resultados indicando assim as ordens verdadeiras dos mesmos. Dentre as conclusões, constata-se que as ordens do erro de discretização obtidas a posteriori com MER comprovam a sua utilidade e eficiência para a estimativa de erros de discretização. Assintoticamente, para esquemas híbridos MCA e Crank-Nicolson, o valor do módulo do erro fica entre os dos esquemas puros. A ordem assintótica do esquema híbrido MCA é igual à ordem assintótica do esquema puro de menor ordem, o que não ocorre para o caso em que o método de Crank-Nicolson é aplicado. Neste caso, a ordem assintótica é igual à ordem do esquema puro de maior ordem. Observa-se que o efeito de pequenos valores no número de Péclet sobre a magnitude do erro de discretização obtido com MER, apresentam os melhores resultados.

Abstract: The error analysis is the study object of great importance to the Computational Fluid Dynamics (CFD). The accuracy and reliability of the solution are some of the difficulties related to such investigations. To meet these conditions, the asymptotic analysis of numerical solutions provides the knowledge of the behavior of numerical techniques applied to the solution of mathematical models that describe physical problems commonly used in Engineering. The main objective of this work is to investigate the influence of hybrid schemes such as deferred correction method (DCM) and the Crank-Nicolson method, as well as the effect of numerical and physical parameters (Péclet number) on reducing the discretization error with Richardson multiextrapolation (RME). Therefore, the equations of 2D advection-diffusion equation and 2D Fourier equation are considered, both with source term and Dirichlet boundary conditions. The numerical simulations were based on knowledge of the analytical solution obtained by the method of manufactured solutions (MMS). The approaches are developed by the method of finite differences with mixed first and second orders schemes (for the advection-diffusion equation) and Crank-Nicolson (for the Fourier equation). In numerical simulation, it is used the quadruple precision and the quadruple stopping criterion based on the average standard. In solving the system of equations, the multigrid method was used. To analyze a posteriori with RME, the orders priori true were deducted by expanding the Taylor series up to three terms for both equations and all variables of interest. Based on the estimated discretization error by RME, refined meshes are created to achieve the accuracy of the results thus indicating their genuine orders. Among the findings, it appears that the orders of the discretization error obtained a posteriori with RME prove their usefulness and efficiency for estimating discretization errors. Asymptotically, for hybrid schemes DCM and Crank-Nicolson, the error modulus value is among the pure schemes. The asymptotic order of the hybrid scheme DCM is equal to the asymptotic order of the pure low-order scheme, which does not occur when the Crank-Nicolson method is applied. In this case, the asymptotic order is equal to the asymptotic order of the pure high-order scheme. It is observed that the effect of small Péclet number in the values of the magnitude of the discretization error obtained from RME, present the best results.