Redução do erro de iteração e aceleração do método Multigrid com uso de extrapoladores

Abstract

Resumo: Determinar a solução de sistemas de equações lineares e não-lineares é um problema importante em Matemática Computacional. Métodos iterativos são amplamente utilizados para este fim. Entretanto, tais métodos podem convergir lentamente. Nas últimas décadas, um grande avanço na aceleração da taxa de convergência de processos iterativos se deu pelo desenvolvimento do método Multigrid. Outra forma de acelerar a convergência do método iterativo é utilizar um método de extrapolação associado ao processo iterativo. Alguns autores obtiveram resultados promissores com o estudo da combinação de métodos iterativos com métodos de extrapolação, o que mostra ser uma alternativa viável e promissora para aceleração de convergência. Neste trabalho foi resolvido numericamente o problema de condução de calor linear bidimensional, governado pela equação de Poisson, com condições de contorno de Dirichlet. Utilizou-se o Método das Diferenças Finitas (MDF), com esquema de aproximação de segunda ordem (CDS) para discretização do modelo matemático. Para a obtenção da solução, foi empregado o método Multigrid geométrico, solver Gauss-Seidel redblack, com esquema de correção (CS), restrição por ponderação completa, prolongação por interpolação bilinear e número máximo de níveis para os diversos casos estudados. Foram associados ao final do Multigrid os seguintes extrapoladores: Aitken, Empírico, Mitin, Épsilon escalar, Rho escalar, Épsilon topológico, Rho topológico, Múltipla extrapolação de Aitken e Múltipla extrapolação de Mitin. Durante o Multigrid, foi usado apenas o extrapolador Épsilon topológico. Os resultados podem ser considerados positivos, pois se verificou, entre outros, que o uso de extrapoladores associados ao método Multigrid reduz de forma satisfatória a magnitude do erro de iteração, do resíduo adimensionalizado com base na estimativa inicial e do fator de convergência, em um tempo praticamente equivalente ao da aplicação do método Multigrid puro ou apresentando uma leve melhoria de desempenho sobre o mesmo.