Método de Euler e método pseudoespectral usando pontos legendre Gauss Radau para uma classe de problemas de controle ótimo

Abstract

Resumo: O objetivo deste trabalho e discutir o método pseudoespectral com pontos de colocacao de Legendre-Gauss-Radau (LGR) apresentado em [22], para determinar solucoes numericas de algumas classes de problemas de controle ótimo. Nesta dissertaçao revisa-se [22], e se deriva a discretizacão do metodo pseudoespectral LGR, de problemas de controle otimo (sem restricoes nas variaveis de estado e de controle) utilizando notacao tensorial. Adicionalmente se derivam as condiçães de otimalidade de Karush-Kuhn- Tucker (KKT) associadas ao problema. Para avaliar a precisao do metodo em problemas de controle otimo específicos, e necessario conhecer a solucão exata dos problemas escolhidos. Procurando replicar os resultados em [22], trabalhou-se num primeiro exemplo com um Problema de Bolza (tipo LQR) sem restricoes nas variáveis de estado e de controle. Se apresenta uma derivacao detalhada da solucao exata deste problema quadrático, utilizando o Princípio do Maximo de Pontryagin. O problema de minimizacao resultante foi resolvido atraves da rotina quadprog do MATLAB. A precisao do metodo pseudoespectral LGR e comparada, com bons resultados, com o metodo de Euler (aplicado ao problema de otimizacao quadrático produto da discretizacao por Euler do problema de Bolza tipo LQR original). Para evidenciar que o metodo pseudoespectral LGR de discretizaçao pode ser aplicado a problemas de controle otimo com restricoes nas variaveis de controle e de estado (o que nao e abordado em [22]), dois exemplos adicionais, apresentados em [31], sao discutidos nesta dissertaçao. No segundo exemplo a funcao custo e nao quadrática e a rotina fmincon do MATLAB e encarregada de fazer o trabalho de otimizacao a partir das equacoes discretizadas pelo metodo pseudoespectral LGR. No terceiro exemplo, o problema de otimizcao foi resolvido pela rotina quadprog. Existem poucos problemas nao-lineares de controle otimo (com restrições) cujas soluções exatas sao conhecidas. Usualmente argumentos de convexidade e outros, sao necessarios para encontrar as solucoes exatas.

Abstract: The goal of this work is to present the details of the Legendre-Gauss-Radau (LGR) pseudoespectral numerical method. This method was published in [22] and it is utilized to find numerical solutions of certain classes of optimal control problem. In this dissertation, we review [22], and derive the discretization of the LGR pseudoespectral method of optimal control problems (without restrictions in the state and control variables) using tensorial notation. In adition, the associated Karush-Kuhn-Tucker (KKT) optimality conditions are derived. To assess the accuracy of the LGR method in specific optimal control problems, it is necessary to know the exact solution of the selected problems. Aiming to replicate the results in [22], we worked initially a Bolza problem (LQR type) without restrictions in the state and control variables. The process of finding the exact solution of this quadratic problem is derived in detail, utilizing the Pontryagin Maximum Principle. The LGR pseudoespectral discretization technique was successful when applied to the Bolza problem without restrictions. The corresponding MATLAB code is included in the Appendix, and utilizes mainly the quadprog routine. The accuracy of the LGR pseudoespectral method is compared successfully against Euler method (applied to the quadratic optimization problem which is obtained from the forward Euler discretization of the LQR type original Bolza problem). To point out that the LGR pseudoespectral discretization method could be applied to optimal control problems with restrictions in the state and control variables (something not attempted in [22]), and outside of the Bolza problem class, two additional examples from [31] are presented in this dissertation. There are few non-linear optimal control problems (with restrictions) whose exact solutions are known. Usually, convexity arguments and others, are necessary to find the exact solutions.