Uma base teórica para a conjugação de funções semicontínuas inferiormente

Abstract

Resumo: Nesta dissertação, apresenta-se um estudo a respeito de uma generalização das funções conjugadas de Fenchel para funções reais estendidas semicontínuas inferiormente (sci) de várias variáveis reais. Considera-se para esta, o produto interno generalizado pelas funções contínuas de IRn em IRn e a base teórica e a generalização dos teoremas clássicos de separação para convexos, a qual possibilita separar por funções contínuas conjuntos fechados e, em particular, garante que o epigrafo de uma função sci pode ser separado de qualquer ponto que esteja em seu complementar. Com auxílio desses resultados, verifica-se que, para funções sci, a conjugada proposta é própria e a conjugação é simétrica. Prova-se também que esta conjugada e convexa e sci, e introduz-se os Espaços Duais Conjugados que aumentam o potencial dessa teoria, pois, dependendo da função correspondente, eles podem ser de dimensão finita. Aplica-se esta generalização no desenvolvimento de uma dualidade para problemas de programação semicontínua inferior (PSCI). Garante-se que o dual desses problemas e de programação convexa e dependendo da função, pode ser restrito a um espaço dual conjugado de dimensão finita. Prova-se que o bidual e o próprio PSCI e define-se a função Lagrangeana relacionada para concluir que seu minimizador em IRn e solução do problema primal e a função contínua que o maximiza e solução do problema dual.

Abstract: We present a study about a generalization of Fenchel conjugate functions for extended real-valued lower semicontinuous (lsc) functions of several real variables. For this, we consider the generalized inner product by continuous functions f : IRn ^ IRn and the theoretical basis is the generalization of the classical separation theorems for convex sets. They ensure the existence of continuous functions that separate two closed sets. In particular, they say that the epigraph of a lsc function can be separated from any point that it is in its complement. Thanks to these results one verifies that for lsc fuctions the proposed conjugate function is proper and its conjugation is symmetric. We also prove that this conjugate function is convex and lsc. We introduce the Conjugate Dual Spaces that increase the power of this theory as they can be of finite dimension in some cases. We apply this generalization to build up a duality scheme for lower semicontinuos programming (LSCP). We ensure that its associated dual problem is a convex programming problem and it can be restricted to a Conjugate Dual Space of finite dimension. We prove the bidual is the LSCP itself and present the corresponding Lagrangian function which minimizer in IRn is the solution of the primal problem and the continuous function that maximizes it is the solution of the dual problem.