Teoria cinética de gases granulares de esferas rugosas

Abstract

Resumo: Com o uso da equação de Boltzmann, faz-se neste trabalho, um estudo de gases granulares compostos de moléculas esféricas rugosas. Para caracterizar as colisões inelásticas, consideramos dois coeficientes de restituição, um normal [alfa] e um tangencial (beta) , os dois s.ao considerados constantes. Além disso, supõe-se que todas as partículas possuem a mesma massa e mesmo momento de inércia. Para fornecer uma descrição macroscópica do gás, encontra-se a função de distribuição do gás, através do método de Chapman Enskog utilizando os polinômios de Sonine. Esta função de distribuição difere da maxwelliana é função da velocidade linear e angular das partículas. Define-se as temperaturas translacional Ttr e rotacional Trot para o gás e a partir da primeira aproximação da função distribuição, encontra-se as taxas de resfriamento translacional T tr e rotacional T rot do gás. Através da resolução de um sistema de equações diferenciais acopladas, obtida a partir das equações de balanço, encontra-se os decaimentos das temperaturas em função do tempo para alguns casos de interesse, demonstrando algumas propriedades de gases granulares como: o alcance do estado de resfriamento homogêneo para tempos longos; o decaimento das temperaturas proporcional a t -2, concordando com a lei de Haff e a não equipartição de energia na maioria dos casos. Para o estado de resfriamento homogêneo, comparamos resultados da aproximação de primeira ordem, obtida pelos polinômios de Sonine com a aproximação maxwelliana, mostrando que na maioria dos casos, a aproximação maxwelliana, fornece resultados satisfatórios. Por último, com o uso da segunda aproximação da função de distribuição e com a definição de apenas uma temperatura T, faz-se um estudo dos coeficientes de transporte que são: condutividade térmica, viscosidade volumétrica e de cisalhamento de gases granulares, mostrando suas dependências com o coeficiente de restituição normal (alfa), para três casos de interesse: rugosidade baixa, média e alta.

Abstract: Granular gases composed of rough spherical molecules are studied within the framework of Boltzmann equation. To characterize the inelastic collisions, we consider two coefficients of restitution, a normal (alfha) and tangential (beta), both are considered constant. Moreover, it is assumed that all particles have the same mass and same moment of inertia. To provide a macroscopic description of the gas, it is found the distribution function of gas through the Chapman Enskog method using Sonine polynomials. This distribution function differs from the maxwellian and is a function of linear and angular velocities of the particles. It is defined the translational Ttr and rotation Trot temperatures and from the first approximation of the distribuition function, it is found the translational tr and rotational rot cooling rates for the gas. By solving a coupled system of differential equations, obtained from balance equations, it is found the decay of the temperatures as function of time for some cases of interest, demonstrating some properties of granular gases as: the scope of homogeneous cooling state for long times; the decay of temperature proportional to t.2, agreeing with Haff’s law and the non-equipartition of energy in most cases. For the homogeneous cooling state, we compare the results from the first order approximation obtained by Sonine polynomials with maxwellian approximation, showing that at the most cases, the maxwellian approximation, provides satisfactory results. Finally, by using the second approximation of the distribution function and setting only one temperature T, it is realized a study of transport coefficients which are: thermal conductivity, bulk and shear viscosity of granular gases, showing their dependencies with the normal coefficient of restitution alfha, for three cases of interest: low, medium and high roughness.