Formação de padrões espaciais em osciladores acoplados

Abstract

Resumo: Neste trabalho nós investigamos numericamente e analiticamente a formação de padrões espaciais em redes unidimensionais de osciladores não-lineares acoplados. O acoplamento entre os osciladores é não-local, ou seja, são consideradas as interações entre osciladores de acordo com sua distância mútua na rede. Variando um parâmetro de alcance nós recaímos, como casos particulares, nos casos de acoplamento difusivo (local) e de campo médio (global). Inicialmente estudamos sob que condições um padrão espacialmente homogêneo torna-se não homogêneo (instabilidade de Turing), usando a teoria linear da estabilidade de modos normais no espaço de Fourier. Os padrões espaciais propriamente ditos surgem da saturação dessa instabilidade quando consideramos as não-linearidades. Como exemplo, investigamos a formação de padrões numa rede de equações de Meinhardt-Gierer acopladas, que descrevem a interação entre duas espécies químicas, um ativador e um inibidor, o primeiro sofrendo um processo auto-catalítico.

Abstract: In this work we investigated numerically and analytically the formation of spatial patterns in one-dimensional lattices of coupled nonlinear oscillators. The coupling among oscillators is non-local, i.e. we considered the interactions between a pair of oscillators with respect to their mutual distance along the lattice. On varying a range parameter we obtained, as particular cases, the diffusive (local) and mean-field (global) couplings. Initially we studied under which conditions a spatially homogeneous pattern becomes non-homogeneous (Turing instability), using the linear stability theory for normal modes in Fourier space. The spatial patterns themselves arise from the saturation of this instability when we consider the nonlinearities. As an example, we investigated pattern formation in a lattice of coupled Meinhardt-Gierer equations, which describe the interaction between an activator and an inhibitor chemical species, the former undergoing an auto-catalytic process.