Estabilidade de Lyapunov e propriedades globais para modelos de dinâmica viral

Abstract

Resumo: Neste trabalho estudamos alguns sistemas de equações diferenciais ordinárias que visam modelar a dinâmica de um vírus dentro do organismo hospedeiro. Nosso estudo concentrou-se em provar propriedades globais referentes à estabilidade de tais sistemas tendo como base a teoria de estabilidade de Lyapunov. Em primeira instância detalhamos as demonstrações de estabilidade feitas por Korobeinikov [11] e Souza & Zubelli [25] para modelos propostos por Nowak & Bangham [19] que descrevem a dinâmica do vírus considerando as células suscetíveis, as células infectadas, vírions (partícula de vírus livre no organismo) e resposta do sistema imunológico. Korobeinikov, em [11], comenta a possibilidade de provar propriedades similares para o modelo que considera o período de latência, resultado que provamos neste trabalho. Na sequência, estendemos estes resultados para modelos que consideram, além dos fatores anteriores, os tratamentos de viroses através de inibidores das enzimas protease, transcriptase reversa e fusão, bem como a combinação destas. Num segundo momento, detalhamos as demonstrações feitas por Souza & Zubelli [25] a respeito das propriedades de estabilidade global para um modelo de (3n+1)(3n+1) equações que consideram a resposta do sistema imunológico e a possibilidade de n variações antigênicas, além dos fatores básicos (células suscetíveis, células infectadas e virions). De maneira análoga aos casos anteriores, provamos que os modelos que consideram o período de latência do vírus e os inibidores de enzima também gozam destas propriedades de estabilidade global.

Abstract: We study systems of ordinary differential equations designed to model the dynamics of a virus within the host organism. Our study is focused on proving the global properties concerning the stability of such systems based on stability theory of Lyapunov. In the first instance we detail the proof of stability made by Korobeinikov [11] and Souza & Zubelli [25] to models proposed by Nowak & Bangham [19] that describe the dynamics of the virus considering the susceptible cells, the infected cells, the virions, and the immune system response. Korobeinikov, in [11], comments on the possibility of proving similar stability properties to the model that considers the latent period, result that we prove in this work. Furthermore, we extend these results to models that consider, in addition to the factors above, the treatment of viral infections by inhibiting the protease, reverse transcriptase, and fusion enzymes, and combination these. Furthermore, we detail the proofs made by Souza & Zubelli [25] about the global stability properties for a model of (3n+1)×(3n+1) equations that considers the response of the immune system and the possibility of n antigenic variation, besides the basic factors (cells susceptible, infected cells, and virions). Similarly to the previous cases, we prove that models that considers the latency period of the virus and enzyme inhibitors also have these properties of global stability.