Caminhadas quânticas na rede hexagonal

Abstract

Resumo: Nesta tese abordamos as caminhadas quânticas em tempo discreto no modelo de es-palhamento (CQEs) na rede hexagonal. Primeiro faremos uma revisão das CQEs em uma dimensão, dando um enfoque mais de propagação em rede do que em computação e informação quântica, que e o usual na área. Em seguida apresentaremos um formalismo geral para a implementação das CQEs em redes regulares e daremos o simples exemplo concreto da rede quadrada. Na sequência do trabalho, implementaremos as CQEs para a rede hexagonal e analisaremos suas propriedade no espaço de momentum. Além disso, realizamos uma breve discussão comparando as estruturas de bandas de energia obtidas para uma CQEs, caracterizada pela matriz de Grover, com as do grafeno. De maneira qualitativa, observa-se que esses dois sistemas possuem características comuns. Finalmente, através destes formalismos exploramos a estrutura topolágica da rede hexagonal para obter dez diferentes formulações, com características espaciais distintas. Além disso, exemplificamos a evolução temporal dessas diferentes formulações das CQEs considerando, por exemplo, as matrizes de espalhamento de Grover e da transformada discreta de Fourier. Nosso estudo ilustra que, combinações específicas dessas dez formulações com matrizes de espalhamento adequadas resultam em sistemas com as caracterásticas fenomenoláogicas distintas, que podem ser uma possível forma de controle de processos quântico nas CQEs na rede hexagonal.

Abstract: In this work we discuss the discrete time quantum walks in the scattering formulation (SQWs) for the honeycomb lattice. First we review the quantum walks in one dimension, giving a focus in lattice propagation than in quantum computation and quantum information, which is usual in the area. Then we present a general formalism for the implementation of SQWs in regular lattices and give a simple concrete example of the square lattice. Next, we implement the SQWs for the honeycomb lattice and analyze its properties in momentum space. In addition, we present a brief discussion comparing the energy bands obtained for a SQWs (characterized by Grover matrix) with those of the graphene. Qualitatively, we observe that the two energy structures have common features. Finally, from the proposed formalism we show that it is possible to explore the topological structure of the honeycomb lattice. We obtain ten different formulations, each one with spatial different features. Furthermore, we exemplify the time evolution of these different SQWs versions considering as scattering matrices, the Grover and discrete Fourier transform operators. Our study ilustrate that specific combinations of the ten formulations with adequate scattering matrices result in distinct phenomenological behavior, which therefore may be a possible way to control quantum processes in SQWs along the honeycomb lattice.