Grupoides simpléticos e geometria de Poisson

Abstract

Resumo: Nesta dissertação estudamos o conceito de grupoide simplético e sua relação com a geometria de Poisson. Seguindo a referência [3], mostramos que a base M de um grupoide simplético (G ,!) herda uma única estrutura de Poisson _ de forma que o algebroide de Lie A(G ) de G é isomorfo ao algebroide de Lie T _M canonicamente associado à variedade de Poisson (M,_). Posteriormente, introduzimos o conceito de grupoide G - Hamiltoniano e mostramos que o espaço de órbitas de uma ação de Poisson numa variedade de Poisson integrável, é também integrável como variedade de Poisson e, é possível construir um grupoide simplético que integra esta variedade de Poisson via redução de Marsden-Weinstein para grupoides G -Hamiltonianos. Finalmente, relacionamos nossos resultados com os obtidos porMikami eWeinstein em [20].

Abstract: In this dissertationwe study the notion of symplectic groupoid and its relation with Poisson geometry. Following [3], we show that the base M of a symplectic groupoid (G ,!) inherits a unique Poisson structure _ in such a way that the Lie algebroid A(G ) of G is canonically isomorphic to the Lie algebroid T _M associated to the Poisson manifold (M,_). Then, we introduce G -Hamiltonian groupoids, proving the main result of this work which says that the orbit space M=G of a Poisson action on an integrable Poisson manifold M, is always integrable, when M=G is smooth. Moreover, a symplectic groupoid integratingM=G is constructed viaMarsden-Weinstein reduction forG -Hamiltonian groupoids. Finally,we relate our results with the ones obtained byMikami andWeinstein in [20].