Uma nova abordagem para a formulação multigrid-SIMPLEC das equações bidimensionais de Navier-Stokes incompreensíveis em regime permanente

Abstract

Resumo: No presente trabalho, e apresentada uma nova abordagem para utilizacao do metodo Multigrid (MG) conjuntamente com o metodo SIMPLEC para resolucao das equacoes de Navier-Stokes incompressiveis em regime permanente. O modelo matematico e discretizado atraves do metodo dos Volumes Finitos (MVF) em conjunto com aproximacoes de segunda ordem em malhas uniformes e com arranjos colocalizados. Um metodo MG e empregado por meio do algoritmo Full Multigrid (FMG) baseado em ciclos-V. Em cada nivel do FMG, o acoplamento pressao-velocidade e realizado atraves de um novo algoritmo baseado no metodo SIMPLEC. No novo algoritmo, praticamente todos os passos originais do SIMPLEC sao executados sem modificacoes, com excecao dos passos associados as resolucoes dos sistemas lineares das equacoes governantes. Esses sistemas sao solucionados por meio de ciclos-V independentes: um ciclo para as conservacoes de quantidade de movimento (nas direcoes x e y) e um ciclo para a correcao de pressao. As velocidades nas faces dos volumes sao calculadas por meio do metodo de interpolacao de quantidade de movimento de Rhie e Chow. O objetivo principal deste trabalho nao e apresentar uma abordagem definitiva em termos de desempenho, mas sim apresentar uma abordagem simplificada em relacao a sua construcao e programacao, e que ainda seja capaz de proporcionar desempenhos comparaveis aos das abordagens padrao da literatura. O problema-modelo de escoamento na cavidade quadrada unitaria com topo deslizante e utilizado para os testes envolvendo o modelo numerico construido a partir da nova abordagem. A verificacao do novo modelo e feita por meio de comparacoes das suas solucoes com dados da literatura e atraves de testes de analise de erros. Seu desempenho computacional e medido por meio de analises dos seguintes parametros: decaimentos de erros e residuos, tempos de execucao (e speedups associados) e esforcos computacionais. Apesar de ter uma formulacao simplificada, o novo modelo numerico apresentou bons resultados de performance para uma larga gama de numeros de Reynolds (Re). Relacoes lineares entre os tempos computacionais e o numero de pontos de malha foram observadas para altos valores de Re. Para valores baixos e intermediarios, relacoes aproximadamente lineares foram observadas. Assim, pode-se afirmar que, em termos de esforco computacional, o criterio de desempenho teorico do MG foi atingido. Palavras-chave : Full Multigrid. Equacoes de Navier-Stokes. Metodo dos Volumes Finitos. SIMPLEC. CFD.

Abstract: In the present work, a new approach is presented for the use of the Multigrid (MG) method in conjunction with the SIMPLEC method to solve the incompressible steady-state Navier-Stokes equations. The mathematical model is discretized using the finite volume method along with second order approximation schemes in uniform grids with collocated (non-staggered) arrangements. A MG method is employed by means of the Full Multigrid (FMG) algorithm based on V-cycles. At each FMG level, pressure-velocity coupling is done by a new algorithm based on the SIMPLEC method. In this algorithm, practically all the original SIMPLEC steps are executed without modifications, except for the steps associated with the resolutions of the linear systems of the governing equations. These systems are solved by means of independent V-cycles: a cycle for the momentum conservations (in x and y directions) and a cycle for the pressure correction equation. The velocities on the faces of the volumes are calculated using the Rhie and Chow momentum interpolation method. The main objective of this work is not to present a definitive approach in terms of performance, but rather to present a simplified one, in relation to its construction and programming, that is still capable of providing performances comparable to those of standard literature approaches. The model problem of the lid-driven flow in the unitary square cavity is used for the tests involving the numerical model built from the new approach. The verification of the new model is done through comparisons of its solutions with data from the literature and through error analysis tests. Its computational performance is measured by analyzing the following parameters: error and residual decays, execution times (and associated speedups) and computational efforts. Despite having a simplified formulation, the new numerical model presented good performance results for a wide range of Reynolds numbers (Re). Linear relationships between computational times and the number of grid points were observed for high Re values. For low and intermediate values, approximately linear relationships were observed. Thus, it can be said that, in terms of computational effort, the theoretical performance criterion of the MG method has beens reached. Keywords : Full Multigrid. Navier-Stokes Equations. Finite Volumes Method. SIMPLEC. CFD.