Métodos computacionais para inversas generalizadas

Abstract

Resumo: Neste trabalho apresentamos aspectos teóricos e computacionais sobre inversas generalizadas de matrizes e propomos três novos métodos computacionais. Propomos inicialmente um método direto baseado em decomposição conjugada para calcular a inversa de Moore-Penrose, no qual provamos que a inversa de Moore-Penrose de uma matriz A pode ser obtida por A† = Z??1Q? se A tem posto completo e A† = (U? 1??1 1 S1, 0)Q? caso contrário, sendo A = Q?Z?1 uma decomposição conjugada de A e S?1 1 ?1U1 uma decomposição conjugada da matriz obtida pelas r primeiras linhas de Q?A, onde r =posto(A). Em seguida, propomos um m'método direto baseado em decomposição conjugada para calcular a inversa de Drazin, o qual consiste em um processo de deflação ortogonal que usa k decomposições conjugadas, sendo k =Ind(A), para construir a inversa de Drazin da forma [...] sendo B1 não singular, N estritamente triangular inferior, W unitária e X solução de XB1 ? NX = B2. E por fim, propomos um m'etodo iterativo para aproximar a inversa de Moore-Penrose baseado nas equações de Penrose AXA = A e XAX = X, o qual considera uma aproximação inicial X0 = ?A?, e calcula Xk+1 = Xk[(1 + ?)I ? ?Y 2 k ], onde Yk = AXk. A convergˆencia do método é provada para 0 < ? < 2/?(A?A) e ? ? (0, 1/3], além disso propriedades e análises de erros são mostradas.

Abstract: In this work we present theoretical and computational aspects about generalized inverses of matrices. Three new computational methods are proposed. We propose a direct method based on conjugate decomposition for computing the Moore-Penrose inverse, which we proved that A† = Z??1Q? if A is a full rank matrix and A† = (U? 1??1 1 S1, 0)Q? otherwise, where A = Q?Z?1 is a conjugate decomposition of A and S?1 1 ?1U1 is a conjugate decomposition of the matrix obtained by the r first rows of Q?A. Here r =rank(A). Afterwards, we propose a direct method based on conjugate decomposition for computing the Drazin inverse, which consists of a orthogonal deflation method using k conjugate decompositions, where k =Ind(A), which is employed to build the Drazin inverse of A as follows […] with B1 nonsingular, N strictly lower triangular, W unitary and X satisfy XB1 ?NX = B2. Finally, one iterative approach is proposed for the computation of the Moore-Penrose inverse based on Penrose equations AXA = A and XAX = X, which considers an initial approach X0 = ?A?, and computes Xk+1 = Xk[(1 + ?)I ? ?Y 2 k ], where Yk = AXk. The convergence of the method is proved for 0 < ? < 2/?(A?A) and ? ? (0, 1/3], along with some properties and an error analysis.