O método dos elementos finitos generalizados aplicado à análise de vibrações livres de estruturas reticuladas

Abstract

Resumo: O conhecimento do comportamento dinâmico das estruturas civis e mecânicas tem se tornado cada vez mais importante para um projeto seguro e otimizado. O Método dos Elementos Finitos (MEF) apresenta bons resultados para as primeiras frequências, porém demanda elevado custo computacional para atingir melhor precisão para altas frequências. O objetivo deste trabalho é investigar a aplicação do Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) na análise de vibrações livres em estruturas reticuladas. O Método dos Elementos Finitos Generalizados, desenvolvido a partir do Método da Partição da Unidade, permite a inclusão de conhecimento prévio sobre a solução da equação diferencial sendo resolvida, no espaço de solução aproximado. Neste trabalho são propostos e analisados diversos elementos generalizados para análise da vibração livre de barras, eixos, vigas de Euler-Bernoulli, treliças e pórticos planos com diferentes funções enriquecedoras. São propostos refinamentos h, p e adaptativo para o MEFG. As funções enriquecedoras do MEFG Adaptativo são dependentes da geometria, das propriedades mecânicas dos elementos e das condições de contorno. O problema variacional de vibração livre é formulado e os principais aspectos do MEFG são discutidos. A eficiência e a convergência do método proposto na vibração livre de estruturas reticuladas planas são verificadas. As frequências obtidas pelo MEFG são comparadas com aquelas obtidas por soluções analíticas, pelo Método Composto (MC), pelos refinamentos h e p do MEF, e por outros métodos encontrados na literatura. O MEFG proposto permite a imposição das condições de contorno de forma direta, como no MEF, e apresenta taxas de convergência maiores do que o refinamento h do MEF e refinamento c do MC, e no mínimo semelhantes às taxas de convergência do refinamento p do MEF. O MEFG Adaptativo proposto converge muito rápido e permite aproximar a frequência relacionada com o modo de vibração desejado.

Abstract: The knowledge about the dynamic behavior of civil and mechanical structures has become very important for a safe and optimized design. The Finite Element Method (FEM) presents good results for the lowest frequencies but demands great computational cost to work up the accuracy for the higher frequencies. The objective of this work is to study the application of the Generalized Finite Element Method (GFEM) in free vibration analysis of framed structures. The Generalized Finite Element Method, developed from the Partition of Unity Method, allows the inclusion of a priori knowledge about the differential equation being solved in the approximated solution space. In this work several generalized elements to free vibration analysis of bars, shafts, Euler-Bernoulli beams, and plane trusses and frames with different enrichment functions are proposed and investigated. The h, p and adaptive refinements of GFEM are proposed. The Adaptive GFEM enrichment functions are dependent on the geometric, mechanical properties of the elements and boundary conditions. The variational problem of free vibration is formulated and the main aspects of the GFEM are discussed. The efficiency and convergence of the proposed method in free vibration analysis of framed structures are checked. The frequencies obtained by the GFEM are compared with those obtained by the analytical solutions, the Composite Element Method (CEM), the h and p-versions of FEM, and other methods found in the literature. The GFEM allows to introduce the boundary conditions directly, as in the FEM, and presents convergence rates grater than hversion of FEM and c-version of CEM, and at least similar to the convergence rates of p-version of FEM. The proposed Adaptive GFEM converges very fast and is able to approximate the frequency related to the chosen vibration mode.