Algebras of expanded structures

Abstract

Resumo: O foco desta tese é estudar as álgebras obtidas de produtos semi-diretos definidos por ações globais e parciais, os quais chamamos de expansões. Em particular, estamos interessados em duas familias de álgebras de convolução sobre estas expansões: as álgebras parciais e as álgebras globais. Após a revisão dos aspectos teóricos básicos, desenvolvemos em quatro capítulos a metodologia que chamamos de Bernoulli. Esta consiste em definir uma acão global e uma acão parcial de uma estrutura ágebrica em um conjunto parcialmente ordenado, uma expansão derivada de cada ação e condições que implicam nas álgebras de convolução dessas expansões serem Morita equivalentes. O trabalho aplica esta abordagem com as seguinte estruturas algébricas: grupos, semigrupos inversos, grupoides ordenados e categorias inversas. Além disso desenvolvemos uma fórmula para álgebra global de um grupo e uma forma de estudar representações de categorias inversas utiliando extensões de Kan. A tese apresenta uma nova forma de interpretar expansões já conhecidas na literatura (o semigrupo universal de Exel ou a expansão de Birget-Rhodes de um grupo, a expansão do préfixo de um semigrupo inverso e a expansao de Birget-Rhodes de um grupoide ordenado) através de produtos semi-diretos das ações parciais de Bernoulli e apresentamos a versão global de cada expansão. Destacamos tambem as seguintes contribuições: a definição de ações parcias (fibradas) de categorias inversas em conjuntos parcialmente ordenados, a definição do produto semi-direto de uma categoria inversa, uma noção de enlargements para categorias inversas e as álgebras global e parcial de uma categoria inversa.

Abstract: The focus of this thesis is to develop a study of the algebras of the semidirect product defined by global and partial actions, which we call expansions. In particular, we are interested in two families of convolution algebras: the partial algebras and the global algebras. After a review of the theoretical aspects, we develop through four chapters the methodology called the Bernoulli approach. This methodology is developed in the following way: to define a global and a partial action of an algebraic structure on a partially ordered set, then we define the semidirect product derived from each action, finally, we study the conditions which will imply that the convolution algebras of such expansions are Morita equivalent. This thesis applies the previous methodology to the following algebraic structures: groups, inverse semigroups, ordered groupoids, and inverse categories. We also present a formula to compute the global algebra and we study the representation of inverse categories using Kan extensions. The thesis presents a new way to interpret expansions already known in the literature (the Exel universal inverse semigroup, or the Birget-Rhodes expansion of a group, the prefix expansion of an inverse semigroup, and the Birget-Rhodes expansion of an ordered groupoid) through semidirect product from Bernoulli partial actions and the global version of each expansion. We also highlight the following contributions: the definitions of (fibred) partial actions of inverse categories, the definition of the semidirect product of an inverse category, a notion of enlargement of an inverse category, and the global and partial algebras of an inverse category.