Solução das equações de Navier-Stokes usando métodos de projeção e gradiente conjugado pré-condicionado com multigrid e solver ILU

Abstract

Resumo: Dentre os principais problemas da área da Dinâmica dos Fluidos Computacional encontra-se o escoamento laminar bidimensional em regime transiente de um fluido incompressível modelado pelas equações de Navier-Stokes. Dentre as formas de resolver este sistema de equações de maneira desacoplada, isto é, resolver as velocidades independentes da pressão, tem-se os métodos de projeção, que dividem a solução do problema em três partes, resolvidas em cada passo de tempo empregando um processo iterativo independente dos processos iterativos das outras variáveis. Pode-se recair, de acordo com o método de projeção utilizado, em duas equações de Reação-Difusão e uma equação de Poisson a serem resolvidas a cada passo de tempo. Neste trabalho buscou-se desenvolver um algoritmo para resolver as Equações de Navier-Stokes, utilizando-se o método dos Volumes Finitos, com esquema de aproximação de segunda ordem, além de um método de projeção com correção incremental na pressão, de modo que cada equação de Reação-Difusão e a equação de Poisson sejam resolvidas de maneira eficiente. Para isso, foram testados vários solvers para cada equação e ao final, foi gerado um algoritmo com as combinações que obtiveram os melhores resultados para cada equação, sendo que o método dos Gradientes Conjugados pré-condicionado com o método Multigrid e suavizador ILU (Fatoração LU Incompleta) foi a metodologia empregada que obteve os melhores resultados em todo processo de resolução do problema. Foi utilizado o Multigrid geométrico com ciclo V, esquema de correção, restrição por ponderação completa, prolongação utilizando interpolação bilinear e número máximo de níveis para os casos estudados. Os resultados obtidos mostraram-se bastante satisfatórios, pois a metodologia proposta acelerou em até 105 vezes o processo iterativo em relação aos métodos clássicos disponíveis na literatura. Palavras-chave: Navier-Stokes, Multigrid, Gradiente Conjugado, Métodos de Projeção, Fatoração ILU.

Abstract: Among the main problems in the field of Computational Fluid Dynamics there is the twodimensional laminar flow in a transient regime of an incompressible fluid modeled by Navier- Stokes equations. Among the decoupled solutions for this equation system, that is, solutions for velocity regardless to pressure, there are the Projection methods, which separate the solution in three parts, solved in each time steps applying an iterative process regardless to the iterative process for the other variables. It may result, according to the Projection method applied, in two Reaction-Diffusion equations and one Poisson equation to be solved in each time step. This paper sought to develop an algorithm to solve the Navier-Stokes equation, applying the Finite Volume Method with second order approximation scheme, beside a Projection method with incremental pressure-correction scheme, so that each Reaction-Diffusion and the Poisson equation are solved efficiently. Therefore, several solvers were tested for each equation, resulting in an algorithm with the combination that achieved the best result for each equation, with the preconditioned Conjugate Gradient method with the Multigrid method and ILU solver (Incomplete LU factorization) being the methodology used in the whole problem solving process. The geometric Multigrid with V cycle, the correction scheme, the full weighting restriction, the prolongation through bilinear interpolation and the maximum number of levels for the studied cases were utilized. The results achieved were satisfactory, since the proposed methodology accelerated the iterative process up to 105 times in relation to the classical methods available in the literature. Keywords: Navier-Stokes, Multigrid, Conjugated Gradient, Projection methods, ILU factorization.