Orbifolds como grupoides e o grupo fundamental de um orbifold

Abstract

Resumo: Esta dissertacão de mestrado tem dois objetivos principais. O primeiro deles e entender as nocões de grupoide de Lie e de orbifold e demonstrar que existe uma correspondˆencia biun'?voca entre classes de isomorfismo de orbifolds efetivos e classes de equival ˆencia de Morita de grupoides de Lie pr'oprios, ' etale e efetivos. O segundo objetivo 'e obter uma noc? ˜ao de grupo fundamental para orbifolds usando caminhos de Haefliger em grupoides de Lie. Especificamente, associamos a cada grupoide de Lie G, um grupo ?Hae(G, x), formado pelas classes de homotopia de caminhos de Haefliger em G, de x para x. Mostramos que este grupo 'e um invariante da classe de equival ˆencia de Morita de G. Assim, no caso de grupoides pr 'oprios e ' etale, obtemos um invariante da classe de isomorfismo de qualquer orbifold representado por G. Palavras-chave: Grupoide de Lie, orbifold, grupo fundamental de um orbifold.

Abstract: In this work we have two main goals. The first one is to understand the notion of Lie groupoid and that of an orbifold and to prove that there exists a one-to-one correspondence between isomorphism classes of effective orbifolds and Morita equivalence classes of proper, ' etale and effective Lie groupoids. Our second goal is to obtain a notion of a fundamental group for orbifolds using the notion of Haefliger paths in Lie groupoids. Specifically, we associate to each Lie groupoid G a group ?Hae(G, x) defined by homotopy classes of Haefliger paths in G from x to x. We will prove that this group is an invariant of the Morita equivalence class of G. As a consequence, in the particular case of G being a proper, ' etale Lie groupoid we obtain an invariant of the isomorphism class of any orbifold presented by G. Keywords: Lie groupoid, orbifold, fundamental group of an orbifold.