Proliferação de estruturas periódicas em sistemas dinâmicos estocásticos

Abstract

Resumo: O objetivo principal desta tese e introduzir um metodo que permite a proliferacao de estruturas periodicas no espaco de parametros de sistemas estocasticos, reduzindo consideravelmente o dominio caotico. A importancia deste estudo se justifica uma vez que a presenca de ruido em sistemas dinamicos afeta principalmente o movimento regular. No caso de mapas, o metodo consiste em adicionar ao modelo um parametro de controle Fj de periodo k, o que possibilita a criacao de k replicas de uma determinada estrutura periodica. Esse procedimento foi aplicado inicialmente ao mapa quadratico, cuja simplicidade matematica permite investigar a origem desse fenomeno por meio de curvas analiticas de bifurcacao e simulacoes numericas. No caso de sistemas bidimensionais, a adicao do parametro Fj as equacoes do mapa de Henon gera a multiplicacao de dominios periodicos no espaco de parametros (a, b) e, consequentemente, uma diminuicao das combinacoes parametricas que conduzem ao caos. Os efeitos da intensidade e do periodo k do parametro externo Fj foram analisados e concluiu-se que o metodo tera exito sempre que a razao m/k resulta em um numero inteiro, sendo m o periodo da estrutura que deseja-se multiplicar. Quando aplicado ao mapa catraca estocastico, esse procedimento permite aumentar a regiao regular do espaco de parametros em ate 78,1%, mesmo considerando os efeitos do ruido termico. Em sistemas a tempo continuo, a supressao do caos esta condicionada a existencia de multiestabilidade. Nesse caso, o procedimento consiste em adicionar ao modelo uma funcao continua periodica que quebra a simetria da forca externa ao sistema e separa os atratores no espaco de fases, gerando a dissociacao de estruturas regulares que encontravam-se sobrepostas inicialmente. Por fim, esta tese apresenta um estudo sobre a influencia do ruido na dinamica de sistemas Hamiltonianos, adotando como modelo o mapa padrao com ruido aditivo. Utilizando tecnicas como a estatistica dos tempos de recorrencia e o calculo dos expoentes de Lyapunov, demonstrou-se que para ruidos temporalmente descorrelacionados ocorre o efeito conhecido como enhanced trapping, que prolonga o tempo de permanencia da trajetoria dentro das ilhas de regularidade. Por outro lado, ruidos que apresentam correlacao temporal podem gerar movimento superdifusivo. Palavras-chave: Sistemas estocasticos. Movimento periodico. Caos. Perturbacoes periodicas.

Abstract: The main purpose of this thesis is to introduce a method that allows the proliferation of periodic structures in the parameter space of stochastic systems, contracting the chaotic domain. The relevance of this study is justified since the noise usually induces the destruction of regular motion in dynamical systems. For maps, the method consists in adding the k-periodic parameter Fj to the model, which makes it possible to create k identical copies of periodic structures. This procedure was initially applied to the quadratic map and the origin of the replication was studied by means of analytical bifurcation functions and numerical simulations. In two-dimensional systems, the addition of the parameter Fj to the Henon map provides the multiplication of periodic domains in the parameter space (a, b) and, consequently, a decrease of the parametric combinations that lead to chaos. The effects of changing the intensity and the period k of the external parameter Fj were analyzed, leading to the conclusion that the method will succeed each time the ratio m/k is an integer, where m is the period of the structure to be multiplied. Considering the stochastic ratchet map, the regular region in the parameter space can be enlarged about 78,1% by applying this procedure, even if the unavoidable thermal effects are taken into consideration. In differential equations, the suppression of chaos is conditioned by the existence of multistability. In this case, the procedure consists in adding to the model a periodic continuous function which breaks the symmetry of the external force and moves away attractors in the phase space, generating the dissociation of degenerated regular structures. Finally, this thesis presents a study about the influence of noise on the dynamics of Hamiltonian systems using the standard map with additive noise. By applying techniques such as recurrence time statistics and the calculation of the Lyapunov exponents, it is possible to show that for uncorrelated noises the effect known as enhanced trapping takes place, which increases the residence time of trajectories within the regular islands. On the other hand, correlated noises generate superdiffusive motion. Keywords: Stochastic systems. Periodic motion. Chaos. Periodic perturbations.