Otimização estrutural topológica utilizando o método dos elementos finitos h-adaptativo fundamentado na recuperação da densidade do erro isotrópica e anisotrópica

Abstract

Resumo: O corrente trabalho propõe um novo esquema para obtenção de soluções estruturais com erros de discretização controlados. Este esquema é fundamentado na combinação da solução de um problema de otimização topológica contínua considerando uma Microestrutura Sólida Isotrópica e Penalizada (SIMP) e a utilização do Método dos Elementos Finitos h-adaptativo para o controle nodal do campo de densidades relativas e obtenção da solução aproximada do problema de valor de contorno associado. A avaliação dos erros de discretização é realizada por um estimador de erro a posteriori baseado em recuperação e considerando a abrupta variação das propriedades materiais. A estimativa das dimensões dos novos elementos pode ser conduzida através da aplicação de duas novas técnicas h-adaptativas, uma de natureza isotrópica (Recuperação da Densidade do Erro Isotrópica - IEDR) e outra anisotrópica (Recuperação da Densidade do Erro Anisotrópica - AEDR). Com isso, busca-se explorar as diversas possibilidades de discretização em problemas de otimização topológica. Ambas as técnicas são baseadas na construção da função densidade do erro em energia e na solução analítica de um problema de otimização. A implementação computacional é realizada pelo software Matlab® e a geração de malha conduzida pelo software Bidimensional Anisotropic Mesh Generator (BAMG). O desenvolvimento das técnicas IEDR e AEDR tem como origem a aplicação em problemas elípticos bidimensionais de segunda ordem considerando propriedades materiais constantes. Exemplos numéricos, com referência ao problema escalar de Poisson e ao problema de elasticidade linear, mostram que as novas técnicas h-adaptativas conduzem a malhas de elementos finitos satisfazendo os critérios de convergência e com erros de discretização aproximadamente equidistribuidos. Além disso, quando comparadas com técnicas clássicas de refino, as técnicas IEDR e AEDR apresentam taxas de convergência, em geral, iguais ou superiores. Por fim, os resultados numéricos da aplicação dessas técnicas em problemas de otimização topológica, considerando a abrupta variação das propriedades materiais, revelam o controle dos erros de discretização e um aumento na resolução do contorno material quando comparado com malhas uniformes ou quase uniformes. Palavras-chave: Otimização Estrutural Topológica. h-adaptatividade. Método dos Elementos Finitos. Estimadores de erro a posteriori. Recuperação da Densidade do Erro.

Abstract: The present work proposes a new scheme for obtaining structural solutions with controlled discretization errors. This scheme is based on the combination of the solution of a continuum topology optimization problem considering a Solid Isotropic Microstructure with Penalization (SIMP) and the use of the h-adaptive Finite Element Method for the nodal control of the relative density fields and to achieve the numerical solution of the associated boundary value problem. The evaluation of the discretization errors is performed by an a posteriori error estimator based on gradient recovery, while considering the abrupt variation of the material properties. The estimation of the new elements' dimensions can be realized by the application of two new h-adaptive techniques, one of isotropic nature (Isotropic Error Density Recovery - IEDR) and another of anisotropic nature (Anisotropic Error Density Recovery - AEDR). By using these tools, several discretization possibilities are explored in topology optimization problems. Both h-adaptive techniques are based on the construction of the energy error density function in conjunction with an optimization problem's analytical solution. The computational implementation is performed by Matlab® software, with mesh generation being conducted by the Bidimensional Anisotropic Mesh Generator (BAMG) software. The development of the IEDR and AEDR techniques is originated in its application for two-dimensional elliptic problems considering constant material properties. Numerical examples, with reference to the Poisson problem and linear elasticity problems, show that the new h-adaptive techniques lead to finite element meshes satisfying the convergence criteria with approximately equidistributed discretization errors. In addition, when compared to classical remeshing techniques, the IEDR and AEDR techniques have convergence rates, generally, equal or higher. Finally, the numerical results of applying these techniques to topological optimization problems, considering the abrupt variation of the material properties, demonstrates control of the discretization errors and an increase in the resolution of the material boundary when compared to uniform or quasi uniform meshes. Keywords: Structural Topology Optimization. h-adaptivity. Finite Element Method. A posteriori error estimators. Error Density Recovery.