Método dos elementos de conservação espacial-temporal de alta ordem e alta resolução para a solução de problemas hiperbólicos

Abstract

Resumo: Esta tese aborda o desenvolvimento de esquemas numéricos explícitos por meio do método dos elementos de conservação espacial-temporal aplicados em problemas hiperbólicos. O método, desenvolvido originalmente para leis de conservação de primeira ordem no tempo, é estendido a equações com derivadas de segunda ordem temporal e aplicado à equação da onda. Para o caso da onda elástica unidimensional sob condições de contorno naturais ou essenciais, um esquema numérico com resposta analítica foi obtido. Uma classe de problemas de ondas não-lineares unidimensionais foi estudada e soluções do tipo D'Alembert foram construídas. No sentido de ampliar a estratégia ao caso bidimensional, uma formulação híbrida foi construída ao utilizar-se, conjuntamente, a Transformada de Fourier. Desenvolveu-se, também, esquemas de alta ordem para a solução numérica das equações hiperbólicas de Saint-Venant em uma e duas dimensões. A estratégia para o aumento de ordem consiste em aumentar o grau dos polinômios presentes nas funções de base, o que resultou em um esquema com precisão de terceira ordem. Os vários experimentos numéricos realizados demonstram a eficiência dos esquemas desenvolvidos, sobretudo no que tange a problemas com descontinuidades e formação de choque, como o caso não-linear. Palavras-chaves: Método de Conservação Espacial-Temporal. Equações Hiperbólicas. Esquema de Alta Ordem e Alta Resolução. Volumes de Controle.

Abstract: This thesis addresses the development of explicit numerical schemes using the space-time conservation element and solution element method applied to hyperbolic problems. The method, developed for first-order conservation laws, is extended to equations with second-order temporal derivatives and applied to the wave equation. For the one-dimensional elastic wave under natural or essential boundary conditions, a numerical scheme with analytical properties was obtained. A class of one-dimensional nonlinear wave problems was studied and D'Alembert type solutions were constructed. In order to extend the strategy to the two-dimensional case, a hybrid formulation was constructed using the Fourier Transform. High-order schemes are also developed for the numerical solution of the one- and two-dimensional Saint-Venant equations. The strategy to increase order consists of considering polynomials of higher degrees in the base functions, which resulted in a third order accuracy scheme. The numerical experiments performed demonstrate the efficiency of the developed schemes, especially with regard to problems with discontinuities and shock formation, such as the nonlinear case. Key-words: Space-Time Conservation Element and Solution Element Method. Hyperbolic Equations. High Order and High Resolution Numerical Schemes. Control Volumes.