Órbitas periódicas instáveis, sincronização de caos e transientes em redes hiperbólicas

Abstract

Resumo: As órbitas periódicas instáveis são o esqueleto sobre o qual a dinâmica caótica é construída. Imerso em uma sela ou atrator caótico, existe um conjunto infinito enumerável de tais órbitas. Esse conjunto infinito contável, embora possua medida de Lebesgue nula, suporta a medida natural dos atratores caóticos e o decaimento da medida para selas caóticas. Relações exatas e expansões em séries convergentes para quantidades dinâmicas fundamentais, tais como a entropia topológica e a taxa de escape, podem ser construídas em termos das órbitas periódicas instáveis para sistemas hiperbólicos. Nesse trabalho, um sistema caótico de alta dimensão foi analisado pelas ferramentas da teoria das órbitas periódicas. Mais especificamente, uma rede composta de diversos mapas de Bernoulli acoplados foi estudada. A hiperbolicidade dessa rede pode ser provada e, portanto, o formalismo das órbitas periódicas formalmente pode ser aplicado. A intensidade do acoplamento de cada par de sítios depende da distância entre eles na rede de acordo com uma lei de potência. As trajetórias típicas dessa rede podem exibir sincronização, desde que o estado sincronizado, dado por uma variedade unidimensional S, seja estável. De modo a determinar a estabilidade local dessa variedade, o espectro de Lyapunov das trajetórias sincronizadas foi avaliado. A análise da estabilidade global desse estado foi calculada pela expressão para a medida natural em termos do conjunto denso de órbitas periódicas instáveis imersas em S. Para os casos em que S é globalmente estável, experimentos numéricos para o tempo de sincronização foram realizados. O comportamento errático e instável observado nas trajetórias do estado dessincronizado, bem como os tempos de sincronização médios muito longos, estabeleceram a hipótese sobre a existência de uma sela caótica G no espaço de fase da rede. O decaimento exponencial temporal típico no número de trajetórias capturadas pela sela foi verificado, para o qual a taxa de escape pode ser calculada. As órbitas periódicas instáveis de G foram numericamente determinadas pela implementação do método de transformação de estabilização e, então, a topologia da sela caótica pôde ser analisada. Uma vez que uma expressão analítica biunívoca para a associação simbólica às órbitas periódicas foi encontrada, a expansão em ciclos primos pôde ser formalmente aplicada e a taxa de escape de G calculada. A exatidão dos resultados obtidos, quando comparados com o ajuste do decaimento exponencial das trajetórias, formalmente comprova a existência da sela caótica G . Consequentemente, o tempo de sincronização médio é associado ao tempo de vida média da sela caótica imersa no espaço de fase da rede. Palavras-chave: órbitas periódicas instáveis, sincronização de caos, sistemas hiperbólicos, tempo de sincronização, transientes caóticos, expansão em ciclos primos.

Abstract: Unstable periodic orbits are the skeleton upon which the chaotic dynamics is built. Embedded in a chaotic saddle or attractor, there is a denumerable infinite set of such orbits. This countable infinite set, although has zero Lebesgue measure, supports the natural measure of chaotic attractors and the measure decay for chaotic saddles. Exact relationships and convergent series expansions for fundamental dynamical quantities, such as topological entropy and escape rate, can be constructed in terms of unstable periodic orbits for hyperbolic systems. In this work, a high-dimensional chaotic system was analyzed by the tools of periodic orbit theory. More specifically, a lattice composed by several coupled Bernoulli maps was studied. This lattice hyperbolicity can be proved and, therefore, the periodic orbit formalism formally can be applied. The coupling intensity of each pair of sites depends on the lattice distance between them in a power-law fashion. Typical trajectories of such lattice can exhibit synchronization, provided that the synchronization state, given by a one-dimensional manifold S, is stable. In order to determine the local stability of this manifold, the Lyapunov expectra of synchronized trajectories was evaluated. The global stability analysis of such state was computed by the natural measure expression in terms of the dense set of unstable periodic orbits embedded inS. For the situations in whichS is globally stable, numerical experiments for the synchronization time were performed. The observed unstable and erratic behavior of the desynchronized state trajectories as well as the very long average synchronization times establish the hypothesis about the existence of a chaotic saddle G in the lattice phase space. The typical temporal exponential decay in the number of trajectories trapped by the saddle was verified, for which the escape rate could be computed. The unstable periodic orbits of G were numerically determined by the implementation of the stabilization transformation procedure and, therefore, the topology of the chaotic saddle could be analyzed. Since an analytical expression for the one-to-one symbolic association to the periodic orbits was found, the prime cycle expansion could be formally applied and the escape rate of G computed. The correctness of the found results, when compared with the trajectories exponential decay fit, formally prove the existence of the chaotic saddle G . Consequently, the average synchronization time is associated with the average lifetime of a chaotic saddle embedded in the lattice phase space. Keywords: unstable periodic orbits, chaos synchronization, hyperbolic systems, synchronization time, chaotic transients, prime cycle expansion.