Multiestabilidade em subespaços invariantes, bacias de atraçao e atratores no modelo de interaçao de quatro ondas
Resumo
Resumo: E comum diagnosticarmos ondas eletromagnéticas que não derivam diretamente de um processo de geração claro e bem definido, isto é, como sendo produtos de decaimentos /ou fusões de ondas primárias. Este processo é bem comum, podendo ser encontrado tanto em plasmas espaciais, como na dinãmica de lasers em laboratório de plasmas entre outras aplicações. Um exemplo do acoplamento não-linear de ondas em plasmas é o sistema dinãmico estudado aqui. Composto por dois tripletos de ondas ressonantes. A interação leva em consideração a ocorrência simultânea de um processo de decaimento e um de fusão, envolvendo ao todo quatro modos ressonantes no plasma local. Neste trabalho consideramos um modelo dissipativo. Ou seja, introduzimos termos responsáveis pela injeção e dissipação de energia na interação. Também é considerado um descasamento linear de frequências entre as ondas envolvidas na interação. O modelo matemático consiste de quatro equações diferenciais ordinárias complexas e não lineares. Considerando somente não linearidades fracas, apenas termos não lineares quadráticos são considerados. Ao todo o sistema apresenta uma dependência de sete parâmetros que são: um coeficiente de injeção de energia; três coeficentes de dissipação de energia; dois parâmetros que medem descasamento linear de frequências; além de um coeficiente que mensura o quão efetivo é o
acoplamento entre os dois tripletos interagentes. Neste trabalho, estudamos o modelo sob o ponto de vista dinâmico e mostramos que, dado um conjunto de parâmetros, o mesmo pode apresentar a coexistência de infinitos estados assintóticos (atratores), ou seja, apresentando multiestabilidade. O processo de surgimento destes estados está associado a uma simetria no descasamento linear de frequências apresentado pelo sistema dinâmico. Mostramos também que as bacias de atração apresentadas pelos atratores do sistema podem apresentar fronteiras de Wada a depender do subspaço invariante em que se encontram, podendo estar numa variedade invariante conservativa ou não. De fato foi possível mostrar que, embora o sistema seja dissipativo, dado um conjunto de parâmetros, o sistema apresenta uma variedade invariante conservativa, no sentido em que, uma vez a dinâmica confinada na variedade, esta passa a apresentar características de um sistema conservativo, como por exemplo a presença de variáveis conservadas. E possível, desta forma, estudar os limites de segurança, isto é, regiões em que as séries temporais não apresentam comportamento divergente ou seja, não apresentam desacoplamentos entre as ondas interagentes no modelo. Portanto, neste trabalho fazemos um estudo, via análise numérica, da dinâmica não
linear apresentada pelos processos de interação entre quatro ondas eletromagnéticas,
descritas por modelo matemático, o qual descreve as interaçôes entre dois tripletos
de ondas, um tripleto de fusâo e um de decaimento. O objetivo principal do trabalho
é estudar as interações não lineares deste modelo Abstract : It is common to observe electromagnetic waves that do not derive directly from a generation process. Such emissions can be generated by decays or fusions of primary waves. These processes are very common and can be found in space plasmas, as well as in lasers in laboratories of plasmas among other applications. An example of such nonlinear couplings of waves in plasmas is the dynamical system studied here. It is composed by two resonant wave triplets. The interaction takes into consideration the simultaneous occurrence of a decay process and a fusion one, involving four resonant waves of the local plasma. In order to obtain a dynamical system, we consider a dissipative model. We suppose an injection term included in one of the waves involved and, at the same time, we consider the dissipation of energy in all other three moldes. A linear frequency mismatch is also included in the dunamical system. The mathematical model consists of four complex coupled differential equations. Assuming only weak non linearities cases, only quadratic terms are considered. The system presents a dependence of seven parameters, namelly: the coefficient of energy injection; three coeficentes of energy dissipation; two parameters that measure linear frequency mismatches; and one coefient that measures the effective coupling between the two interagentes triplets. In this work, we study the model under the dynamical point of view and show that, given a set of parameter values, it can present the coexistence of infinite assintotic states (attractors). The multistability process is associated with a symmetry in the linear frequency mismatches presented by the dynamical system. We also present a study of the basins of attraction displayed by the atractors. We show that these borders display Wada like property. It was possible to show that, even when the system is dissipative, for a interval of the set of parameters, the system presents a conservative invariant manifold where the dynamics of the system preserves some invariants, for example the presence of a energy function. It is possible to study the limits of security, that is, regions where the secular series do not present divergent behavior or either, do not present uncoupled states in the model. Therefore, in this work we make a study, based on numerical analysis of the non linear dynamics presented by the processes of interaction between four electromagnetic waves which describes the interactions between two triplets of waves, a decay and a fusion triplets. The main objective of the work is to study the non linear interactions of this model.
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