Dinâmica de padrões em autômatos celulares com inércia

Abstract

Resumo: A cada dia que passa, aparecem mais e mais descobertas científicas. Sempre, nos surpreendendo com os mais variados fenômenos da natureza. E, buscamos entender o dinamismo de alguns efeitos naturais, criando diversos modelos matemáticos que tentam explicar, de forma satisfatória esses efeitos. Uma teoria, que é amplamente utilizada, é a teoria dos autômatos celulares. Vemos modelos de autômatos celulares em diversas áreas de conhecimento. Pois são modelos simples, de fácil implementação computacional e que geram resultados complexos e interessantes, podendo descrever, por exemplo, complexidade e emergência de padrões espaço temporais. Essencialmente, os autômatos celulares são compostos por células, distribuídas em uma rede regular. Cada célula assume um valor numérico que determina seu estado. O tempo é discreto e a evolução de cada célula obedece a uma simples regra de atualização, que determina a mudança temporal dos estados de cada célula. Existem muitas regras de atualização diferentes. Nesse trabalho utilizamos uma regra simples, onde o estado da célula no tempo "t", depende da soma dos estados de seus vizinhos num tempo anterior, ou seja, em "t-1". Consideramos 3 estados, sendo 2 ativos (+1, -1), que competem dinamicamente entre si, e um passivo (zero), que não influencia na mudança de estado. Definimos também um "estado interno", que chamamos de inércia. Essa inércia confere a cada célula uma resistência natural e determinística à mudança de seu estado. Estudamos um caso bidimensional, quadrado, de tamanho N. Incluímos também uma probabilidade de uma célula qualquer, mudar, espontaneamente, para o estado zero, se houver em sua vizinhança uma célula zero. Dessa maneira o estado zero passa a ter força sobre a competição dinâmica contra os outros estados. Analisamos diferentes aspectos dinâmicos do sistema, entre eles, como densidade dos estados iniciais evolui no tempo e como os mesmos se aglomeram numa situação estacionaria, ou seja, como ocorre a formação de clusters (aglomerados de células de mesmo estado) nessa situação. Para estudar a distribuição espacial utilizamos o algoritmo de Hoshen-Koplemann, fazendo a contagem e calculando o tamanho dos clusters do sistema. Diferentes tamanhos de sistemas foram estudados, buscando entender seu efeito sobre a dinâmica evolutiva. Além disso, verificamos a convergência e a não convergência de certos sistemas em uma configuração estacionaria. Estudamos também padrões na distribuição espacial dos estados e padrões nos valores de inércia de cada célula. Mostrando que, a dinâmica evolutiva pode sofrer mudanças drásticas, além de que, padrões simétricos, ou parcialmente simétricos, evoluem de forma parecida. Para finalizar o trabalho, usamos nosso modelo para estudar o aparecimento e a evolução de ecótonos, que são áreas de transição entre dois biomas diferentes. Em nosso modelo, essas áreas surgem naturalmente, portanto, buscamos otimizar os parâmetros que trouxessem sua maximização.

Abstract: Each day, we see more and more scientific discoveries. Always surprising us with the most varied phenomena of nature. And we seek to understand the dynamism of some natural effects, creating several mathematical models that attempt to explain satisfactorily these effects. One theory, which is widely used, is the cellular automata. We see models of cellular automata in different fields of knowledge. Because they are simple, easy to computational implementation and generate complex and interesting results, that can describe, for example, emergence of complexity and temporal space patterns. Essentially, cellular automata are composed of cells arranged in a regular lattice. Each cell receive a numeric value that determines their state. The time evolution is discrete and the evolution of cells obeys a simple update rule, which dictates the temporal change of the states of each cell. There are many different update rules. In our work, we use a simple rule, where the state of the cells at time t depends on the sum of the states of its neighbors in a earlier time, that is, t ? 1. We consider three states, with two are considered active (+1, -1), which dynamically compete, and a passive state (zero), which does not influence the change of state. We also define a "internal state", called inertia. This inertia gives each cell a natural and deterministic resistance to change its state. We studied a two-dimensional case of size N. We have also included in this model, a probability of any cell, changing spontaneously to the zero state, if, there is, in its neighborhood, zero state cell. Thus this state shall have power over the dynamic competition against other states. We analyze different dynamic aspects of the system, among them, how the initial density of states evolve in time and how the clustering of the same states occurs. To study the spatial distribution, we use the Hoshen-Koplemann Algorithm, by counting and calculating the size of the system clusters (clusters of cells in the same state). Different system sizes were studied, seeking to understand its effect on evolutionary dynamics. Furthermore, we verify the convergence and non-convergence of certain systems into a stationary configuration. Also, we study both patterns, in spatial distribution of states, and in the values of inertia of each cell, showing that the evolutionary dynamics can undergo drastic changes, and that symmetrical patterns, or partially symmetrical, evolve similarly. To finish this work, we use our model to study the appearing and evolution ecotones, which are areas of transition between two different biomes. In our model, these areas emerge naturally, therefore, we seek to optimize the parameters to bring the maximization of ecotones.