Identidades de MacWilliams para Códigos Poset

Abstract

Resumo: A classe de códigos mais estudada é a dos códigos lineares. Utilizando a métrica de Hamming conseguimos relacionar o polinômio enumerador de peso deumcódigoC com o do seu código dual (C?) através das identidade de MacWilliams. Busca-se então, derivar tais identidades para códigos lineares utilizando uma métrica não Hamming. Assim, sendo P um poset em [n], apresentamos os resultados que mostram que P admite identidades de MacWilliams se, e somente se, o poset é hierárquico. Além disso, se I (P ) é o conjunto de ideais de ordem de P e E é uma relação de equivalência em I (P ), introduzimos os conceitos de relação dual (E _) de uma relação de equivalência E , distribuição de E -peso (resp. E _-peso) de um P -código linear (resp. seu P -código dual ou P _-código) e o conceito de relação de equivalência de tipo MacWilliams. Três tipos de relações de equivalênciaemI (P ) são apresentadas, as quais são definidas respectivamente pela cardinalidade dos ideais do poset, pela ação dos automorfismos do poset no conjunto de seus ideais, e pela existência de um isomorfismo entre dois ideais e mostramos sob que condições tais relações são de tipo MacWilliams. Além disso, mostramos que quando a relação de equivalência referente aos isomorfismos é de tipoMacWilliams, a mesma coincide com a relação referente aos automorfismos de P . Apresentamos ainda o conceito de _-métrica no espaço das matrizes n _s com entradas em Fq e os conceitos de T e H-enumeradores de pesos para tal caso, relacionando a _-métrica, com a P -métrica e os conceitos de relações de equivalência para um poset P , o qual é uma união disjunta de n cadeias de comprimento s cada uma. Conseguimos assim relacionar os T e H-enumeradores de códigos mutuamente duais utilizando os conceitos de relações de equivalência de tipoMacWilliams. Com isso, mostramos que as matrizes utilizadas para relacionar as distribuições de E - peso e E _-peso são, neste caso, inteiramente determinadas pelos ideais referentes à primeira cadeia do poset P.