Multiextrapolação de Richardson completa para reduzir o erro de discretização

Abstract

Resumo: O objetivo principal deste trabalho é estender o uso de múltiplas extrapolações de Richardson para campos em problemas uni e bidimensionais resolvidos com o método de diferenças finitas. Múltiplas extrapolações em campos permitem obter uma solução com ordem de acurácia mais alta em todos os pontos da malha fina e não somente em determinadas variáveis pontuais. Para tanto, são consideradas: equações de Poisson, advecção-difusão, Laplace e Burgers com condições de contorno de Dirichlet; aproximações numéricas de primeira, segunda e quarta ordens de acurácia; três variáveis de interesse; malhas uniformes com até 1025 nós por direção e nove extrapolações; e precisão quádrupla. A extrapolação de Richardson total (FRE) desenvolvida nesta tese confronta e complementa os resultados apresentados por outro método de extrapolação em campos, encontrado na literatura como extrapolação de Richardson completa (CRE). Os resultados mostram que: para Poisson, múltiplas extrapolações aplicadas com FRE são extremamente eficientes em reduzir o erro de discretização de todos os nós da malha, aumentando em 16 unidades a ordem do esquema numérico com sete extrapolações; para advecção-difusão, Laplace e Burgers, múltiplas extrapolações com os métodos CRE e FRE reduzem o erro de discretização de todos os nós da malha, aumentando em até 2 unidades a ordem do esquema, não importando o número de extrapolações; e FRE reduz mais o erro de discretização de campos do que CRE, exceto em Burgers 1D e 2D, onde CRE apresentou os menores erros.

Abstract: The main focus of this work is to extend the use of the repeated Richardson extrapolations to fields for one and two-dimensional problems solved with the use the finite difference method. Repeated extrapolation to fields aims to obtain a solution with the highest accuracy order at all points of the fine grid and not just at certain specific variables. In order to do this, the following aspects are considered: Poisson, advection-diffusion, Laplace and Burgers equations with Dirichlet boundary conditions; numerical approximations of first, second and fourth accuracy order; three variables of interest; uniform grids with up to 1025 nodes by direction and nine extrapolations; and quadruple precision. The full Richardson extrapolation (FRE) developed in this thesis confronts and complements the results presented by other method of the extrapolation in fields, which is referred to in the literature as the completed Richardson extrapolation (CRE). The results have showed that: for Poisson equation, repeated Richardson extrapolations applied with FRE are extremely effective for reducing the discretization error of all nodes of the grids, increasing in 16 units the order of the numerical scheme with seven extrapolations; for advection-diffusion, Laplace and Burgers equations, repeated Richardson extrapolation increased in 2 units the order of the scheme, regardless the number of extrapolations; and FRE reduces the discretization error for fields more than CRE, except for 1D e 2D Burgers equations, in which case CRE method is better.