Axiomas de separação em espaços de aproximação

Abstract

Resumo: Espaços de aproximação foram introduzimos pelo matemático belga Eobert Lowen, com o principal objetivo de resolver algumas falhas de cunho algébrico de espaços topológicos metrizáveis, mas acabaram se tornando entes matemáticos úteis nas mais diversas áreas e interessantes objetos de estudo por si próprios. Estes espaços abstraem as principais características dos espaços topológicos, métricos e uniformes e são um elo de ligação adequado entre os mesmos. Neste trabalho nós fazemos uma introdução aos espaços de aproximação, apresentando algumas das várias estruturas que podem ser usadas para descrevê-los: distâncias, operadores limite, sistemas de localização, torres, envelopes e quadros. Desenvolvemos cada uma destas estruturas e mostramos que todas são equivalentes em certo sentido. Ao final do trabalho damos algumas novas caracterizações de axiomas de separação em um espaço topológico, utilizando as estruturas do espaço de aproximação a ele associado.

Abstract: Approach spaces were introduced by the Belgian mathematician Robert Lowen primarily to address some failings of an algebraic nature in metrizable spaces but ended up becoming methematical entities that proved useful in a wide range of areas, as well as interesting subjects of study in themselves. They abstract the main characteristics of topological, metric and uniform spaces and are a suitable link between these. In this work we introduce approach spaces and present some of the different structures that can be used to describe them: distances, limit operators, localization systems, gauges, towers, envelopes and frames. We develop each of these structures and show that they are all equivalent in a certain way. At the end of the work we provide some new characterizations of separation axioms in a topological space using the approach space structures associated with it.