Caminhadas quânticas em redes regulares 2D, um tratamento geral

Abstract

Resumo: Neste trabalho abordamos as duas versões mais conhecidas de caminhadas quânticas em tempos discretos, denominadas modelo de moeda e de espalhamento. Discutimos e revisamos a formulação matemática geral para tais caminhadas e revisitamos a demonstração de que tais modelos são unitariamente equivalentes em qualquer topologia e para coeficientes de transição arbitrários. Além disso, particularizamos a construção geral para o caso de redes regulares, fazendo uma análise detalhada de redes lineares, quadradas e hexagonais. Para tais redes específicas, realizamos cálculos de evolução temporal considerando diferentes matrizes para as amplitudes quânticas de transição. Tanto para o modelo de moeda quanto para o de espalhamento discutimos os casos Hadamard, Grover, Transformada Discreta de Fourier, além da Transformada Discreta de Hartley (que é incomum na área mas bastante usada e útil em análise de sinais). Através de nossos exemplos numéricos, discutimos as semelhanças e diferenças entre os modelos de espalhamento e de moeda, bem como verificamos explicitamente a equivalência unitária entre eles. Por último, abordamos em detalhes caminhadas quânticas na rede hexagonal, o que nos permite investigar alguns aspectos interessantes desta topologia, tais como, comportamento similar a uma partícula livre, características de evolução quando há simetria axial, e efeitos de confinamento em anéis da rede.