Proposta de algoritmo baseado em deflação polinomial para determinação de raízes de polinômios

Abstract

Resumo: Calcular zeros de polinômios é um problema de vasta aplicabilidade na ciência, porém, é um problema difícil de se resolver para polinômios de grau alto, o que faz dos métodos numéricos um ótimo modo de se atacá-lo. Um outro problema já antigo e mesmo assim, bastante relacionado que aparece em matemática aplicada é o de determinar os autovalores de uma dada matriz. Contudo, dependendo do método numérico utilizado para se calcular as raízes de um polinômio, um outro problema que é usual aparecer é como se deflacionar o polinômio, este é um passo que deve ser incluso no algoritmo que encontra as raízes, e pode causar efeitos na estabilidade do mesmo, e também em seu desempenho. Neste trabalho apresentamos um método novo para deflacionar m vezes um polinômio, dada uma raiz de multiplicidade m do mesmo, e após isso, apresentamos um novo método para calcular raízes de polinômios baseando-se na ideia do algoritmo de deflação apresentado.

Abstract: Calculating zeros of polynomials is a problem which appear in a vast number of applications in science. However, it is a very hard problem to solve specially for polynomials of high degree, which makes the numerical methods a great way to approach it. A very old problem, also related to that, which appears in Applied Mathematics is finding the eigenvalues of a given matrix. However, dependending on the numerical method used for calculating the roots of a polynomial, another problem that ocurrs is how to deflate the obtained resulting polynomial, such deflation must be incorporated in the final step of the root-finding algorithm, and can cause stability issues on it, also compromising its performance. In this work we present a new method to deflate m times a polynomial, given a root of multiplicity m of it, and after that, we give a new method for calculating roots of polynomials basing on the idea of the deflation method presented before.