Estimativa do número de condição de um precondicionador ST para problemas indefinidos

Abstract

Resumo: Neste trabalho, é discutido o uso de precondicionadores para transformar problemas de ponto de sela em problemas cuja matriz seja simétrica e definida positiva. Os precondicionadores estudados baseiam-se na decomposição de matrizes como produto de uma matriz simétrica por uma triangular (decomposição ST). Sendo assim, em uma parte inicial são mostrados alguns resultados existentes sobre este tipo decomposição, no caso em que S é definida positiva e também na situação em que T possui apenas o valor 1 em todas as entradas de sua diagonal. Inclui-se ainda um estudo das propriedades espectrais de três precondicionadores ST, bem como estimativas para o número de condição dos sistemas que resultam ao se fazer tais precondicionamentos. Posteriormente, estuda-se um outro precondicionador, também baseado na decomposição ST, que tem como casos particulares dois dos primeiros precondicionadores apresentados. A grande contribuição deste trabalho é a obtenção de novas estimativas para o número de condição de sistemas obtidos quando se aplica este precondicionador a problemas indefinidos. São estabelecidas quatro diferentes estimativas para este número de condição, uma delas baseada em um problema de autovalor quadrado. Palavras-chave: Decomposição ST, precondicionador ST, problemas indefinidos, número de condição.

Abstract: In this work, it is discussed the use of preconditioned to transform saddle point problems to problems whose matrix is symmetric and positive defined. The preconditioners studied are based on the decomposition of matrices as a product of a symmetric by a triangular matrix (ST decomposition). Thus, in an initial part of the work it is shown some available results on such decomposition, in the case where S is positive defined and aiso in the situation where T has only the value 1 in each entry of its diagonal. It is also included a study of spectral properties of three ST preconditioners, as well as estimates for the condition number of the systems that result when it is made such preconditioning. Subsequently, it is studied another preconditioner, also based on the ST decomposition, which has as particular cases two of the first preconditioners presented. The great contribution of this work is the obtainment of new estimates for the condition number of the system obtained when the new preconditioner is applied to undefined problems. Are set four different estimates for this condition number, one of them based on a quadratic eigenvalue problem. Keywords: ST decomposition, ST preconditioner, indefinite problems, condition number.