Pré-condicionamento do método Gauss-Seidel para M-matrizes

Abstract

Resumo: Neste trabalho estudamos pré-condicionadores para o método Gauss-Seidel, um método iterativo para resolver sistemas lineares quadrados do tipo Ax = b. No início apresentamos alguns assuntos preliminares, logo depois, listamos os principais pré-condicionadores existentes na literatura, e apresentamos vários teoremas que nos permitem comparar a taxa de convergência do método Gauss-Seidel pré-condicionado com cada um dos précondicionadores listados na literatura. Ainda no mesmo capítulo, propomos o pré-condicionador PRU = I +R+U, onde I é a matriz identidade, R é a última linha de A com o sinal trocado e sem o último elemento, e U é a parte triangular estritamente superior de A com o sinal trocado. O pré-condicionador proposto é comparado com os demais, mostrando ser bastante eficiente do ponto de vista da aceleração da taxa de convergência do método Gauss- Seidel. Com base nos resultados teóricos, apresentamos vários exemplos numéricos, os quais comprovam a eficiência do nosso pré-condicionador, e também motivam algumas conjecturas que são lançadas na conlusão.

Abstract: We study preconditioners for the Gauss-Seidel method, that is a method for solving linear systems. In this work, a new preconditioner for the Gauss-Seidel method is proposed for solving linear systems whose coecient matrix is a M-matrix. We analyze various preconditioners in the literature, and we shown several comparison theorems for the proposed method. By the comparison results, we can see that our preconditioner is one of the best preconditioners. Numerical examples nally are given to illustrate our theoretical results. Eventually, we conclude analyzing the comparison theorems showed previously, and some conjectures are proposed based on our numerical tests.