Otimização de parâmetros do método Multigrid Algébrico para problemas difusivos bidimensionais

Abstract

Resumo: Este trabalho apresenta comparações de parâmetros entre os métodos multigrid algébrico (AMG) e multigrid geométrico (GMG) para as equações bidimensionais de Laplace e Poisson, em malhas estruturadas quadrangulares e triangulares. Os parâmetros analisados são: número de iterações internas no solver, número de malhas e número de incógnitas. Para o AMG, também são estudados os efeitos do fator de redução de malha e do fator de forte dependência na malha grossa sobre o tempo de CPU necessário para obter a solução numérica. Para malhas quadrangulares é empregado o método de diferenças finitas, e para malhas triangulares, o de volumes finitos. Os resultados são obtidos com uma adaptação do código computacional AMG1R6 de Ruge e Stüben. Para o AMG são usadas as seguintes componentes multigrid: restrição por engrossamento padrão, prolongação padrão, esquema de correção (CS), solver Gauss-Seidel lexicográfico e ciclo V. São feitos estudos comparativos entre os tempos de CPU do método multigrid geométrico, multigrid algébrico e singlegrid (método de malha única). Verificou-se que: 1) o número ótimo de iterações internas obtidas para o AMG e GMG, em malhas quadrangulares, é o mesmo, porém diferente para malhas triangulares; 2) o número ótimo de malhas é o número máximo, tanto para malhas quadrangulares quanto para malhas triangulares; 3) o AMG mostrou-se sensível à variação do fator de redução de malha e do fator de forte dependência na malha grossa, tanto com relação às equações abordadas, quanto aos tipos de malha e 4) para malhas quadrangulares, o GMG resolve o problema em 20% do tempo gasto pelo AMG.

Abstract: This work presents comparisons of parameters between the algebraic multigrid (AMG) and geometric multigrid (GMG) methods for Laplace and Poisson two-dimensional equations in square and triangular structured grids. The analyzed parameters are: the number of inner iterations in the solver, the number of grids and number of unknowns. For AMG, the effects of the grid reduction factor and the strong dependence factor in the coarse grid on the necessary CPU time to obtain the numeric solution are studied. For square grids the finite difference method is used, and for the triangular grids, the finite volume one. The results are obtained with the use of an adapted computational code from the original AMG1R6 of Ruge and Stüben. For the AMG the following multigrid components are used: restriction by the standard coarsening, standard interpolation, correction scheme (CS), lexicographic Gauss-Seidel as solver and V cycle. Comparative studies among the CPU time of the geometric and algebraic multigrid methods and singlegrid (method of unique mesh) are made. It was verified that: 1) the optimum number of inner iterations obtained for AMG and GMG, in square grids, is the same, however it has a value different for triangular grids; 2) the optimum number of grids is the maximum number, for both square and triangular grids; 3) AMG was shown to be sensitive to both the variation of the grid reduction factor and the strong dependence factor in the coarse grid, in relation to the approached equations, as lake to the mesh types, and 4) in square grids, the GMG solves the problem in 20% of the time spend for AMG.