O teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg para variedades diferenciáveis

Abstract

Resumo: É um fato elementar, porém importante, em geometria diferencial, o isomorfismo entre a álgebra de Lie dos campos de vetores em uma variedade diferenciável e a álgebra de Lie das derivações lineares na álgebra de funções C1 naquela variedade. O Teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg admite uma versão para variedades diferenciáveis que permite relacionar a Super- Álgebra de Lie Diferencial dos campos de polivetores sobre uma variedade diferenciável, munidos do colchete de Nijenhuis-Schouten e diferencial trivial à Super- Álgebra de Lie Diferencial das poliderivações sobre a Álgebra de funções ali definidas, munidas do colchete de Gerstenhaber e diferencial de Hochschild. Isto permite estabelecer um paralelo entre as propriedades do colchete de Gerstenhaber na cohomologia de ochschild da Álgebra de funções sobre um sistema hamiltoniano e as equações de evolução em tais sistemas, que são obtidas através de campos de 2-vetores que satisfazem relações de comutatividade com espeito ao colchete de Nijenhuis-Schouten. No presente trabalho, descrevemos de maneira rigorosa e livre de coordenadas os operadores envolvidos. Em outras palavras, poliderivaçães são definidas de maneira global e puramente algébrica. É mostrado que, quando restringimos os operadores assim definidos a sistemas de coordenadas, obtemos precisamente a definição apresentada na literatura. Além disso, demonstramos a versão para variedades diferenciáveis do Teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg.

Abstract: It is a fundamental fact in Differential Geometry that the Lie algebra of vector fields on a differentiable manifold is isomorphic to the Lie algebra of linear derivations of the algebra of C1 functions on that manifold. The Hochschild-Kostant- Rosenberg theorem has a version for differentiable manifolds which allows to relate the differential Lie superalgebra of the polyvector fields with Nijenhuis-Schouten bracket and null differential, and the differential Lie superalgebra of the polyderivations of the algebra of functions on such manifold, with Gerstenhaber bracket and Hochschild differential. This allows to stablish a close orrespondence between the properties of the Gerstenhaber bracket in the Hochschild cohomology of the functions algebra on a Hamiltonian system and the evolutions equations in such systems, obtained by 2-vector fields which satisfies certain commutativity relations with respect to Nijenhuis-Schouten bracket. In the present work, we provide a rigorous definition of the operators involved without appealing to the choice of some, yet arbitrary, coordinate system. In other words, the polyderivations are given a global and purely algebraic defintion. It is shown that, by restricting the operators so defined to a local coordinate system, one gets precisely the usual local definition available in the literature. Moreover, we give a proof of the Hochschild- Kostant-Rosenberg theorem for differentiable manifolds.