Construção paralela de árvores de cortes utilizando contrações de grafo otimizadas

Abstract

Resumo: As árvores de cortes representam, de forma compacta, a aresta conectividade entre todos os pares de vértices de um grafo com pesos nas arestas. Existem muitas aplicações de arvores de cortes como, por exemplo, em projetos de redes confiáveis, partição de grafos, analise de redes, segmentação de imagens entre outras. Dois algoritmos clássicos para construção de arvores de cortes são conhecidos: o algoritmo de Gomory-Hu e o algoritmo de Gusfield. Neste trabalho sao apresentadas versões paralelas de um dos algoritmos clássicos para a construção de árvores de cortes, o algoritmo de Gomory-Hu. Este al-goritmo faz máltiplas chamadas a um procedimento que encontra um corte de arestas de capacidade mínima entre dois vértices. Para encontrar os cortes mínimos, o algoritmo faz contrações de vértices do grafo de entrada. O procedimento para construção do grafo contraído e custoso e implementá-lo de forma eficiente não e trivial. Portanto e importante investigar pontos que podem ser otimizados nesse procedimento. A principal contribuição deste trabalho e a especificação de uma estratégia paralela baseada no modelo mestre-escravo que permite que processos aproveitem instâncias de grafos contraídos de passos anteriores. A otimização tem o objetivo de viabilizar uma forma eficiente de realizar as operações de contração nos processos escravos, já que estes sempre calculam o grafo contraído sobre o mesmo grafo. De forma geral, a implementação dessa otimização requer que o processo mestre tenha controle sobre as tarefas que foram enviadas para cada escravo, armazenando-as para que sejam utilizadas quando as respostas chegarem. Os processos escravos, por sua vez, precisam tomar decisões sobre quando aproveitar ou não, uma instância de grafo contraído. E também apresentada a aplicação da otimização proposta para um algoritmo híbrido que combina características do algoritmo de Gomory- Hu e do algoritmo de Gusfield, também baseado em contrações otimizadas. Para avaliar a eficiência desta versão foram realizados experimentos em um cluster de alto desempenho. Foram realizados testes de speedup e comparativos entre as versões paralelas existentes. Foram realizados também, experimentos com uma implementação do algoritmo paralelo de Gomory-Hu utilizando o conjunto de bibliotecas Boost para avaliar o desempenho de diferentes algoritmos de fluxo máximo (utilizados para calcular os s-t cortes mínimos).

Abstract: Cut trees represent the edge-connectivity between all pairs of nodes of an undirected weighted graph. There are many cut tree applications, such as the design of reliable networks, graph partitioning, network analysis, image segmentation, among others. Two classical algorithms that solve the problem of finding a cut tree of an undirected weighted graph are known: the Gomory-Hu algorithm and the Gusfield algorithm. This work presents parallel versions of the Gomory-Hu algorithm. This algorithm makes multiple calls to a procedure which finds a cut with minimum capacity between a pair of vertices. At each step the algorithm apply contractions on the input graph. The contraction procedure is costly and its implementation is not trivial. Therefore it is important to investigate ways to optimize that procedure. Previous implementations of the algorithm build the contracted graph from the input graph. The main contribution of this work is the specification of a parallel strategy that allows processes to take advantage of instances of contracted graphs from previous steps. The optimization requires the master process to have control over the tasks that were sent to each slave, storing them so they are used when the answers arrive. The slave processes, in turn, must make decisions about when to use or not a contracted graph instance. It is also shown the application of the proposed optimization in a hybrid algorithm that combines features from Gomory-Hu and Gusfield algorithms. To evaluate the efficiency of the algorithms, experiments were performed on a high performance computer cluster. Speedups and comparison tests were performed against previous parallel implementations. Experiments were also carried out with an implementation of a parallel version of Gomory-Hu algorithm using Boost library to evaluate the performance of different maximum flow algorithms used to compute the minimum s-t cuts.