Lagrangeano aumentado exponencial aplicado ao problema de equilíbrio

Abstract

Resumo: Neste estudo propomos um Método de Lagrangeano Aumentado Exponencial para resolução do Problema de Equilíbrio Geral. Tal método é uma extensão dos algoritmos apresentados em (NASRI, 2010). Em nossa proposta, substituímos a penalidade clássica de Rockafellar presente nestes algoritmos pela penalidade exponencial. Em seguida, refizemos a teoria geral em torno do novo algoritmo. A teoria de equivalência é construída via ponto proximal, ou seja, a partir da relação de dualidade entre lagrangeano aumentado e ponto proximal, porém o termo de regularização aqui utilizado é uma quase distância de Bregman, diferente do termo quadrático empregado em (NASRI, 2010). Para contornar possíveis problemas de mau condicionamento causados pela presença da penalidade exponencial, procedemos a um ajuste quadrático da mesma. Em seguida, testamos a nova metodologia por meio de experimentos numéricos, considerando inicialmente o método com a penalidade exponencial e, em seguida, com a quadrática ajustada. Para realizar os testes, escolhemos problemas de equilíbrio e problemas de equilíbrio de Nash generalizados (GNEPs), os quais compõem uma classe particular de problemas de equilíbrio. O método puro resolveu problemas pequenos e, para problemas com dimensões maiores, a versão com quadrática ajustada mostrou-se melhor. Na sequência, discutimos os resultados numéricos e apresentamos as considerações finais. Para finalizar, deixamos algumas perspectivas de trabalhos futuros e uma lista de referências, as quais serviram de suporte para essa pesquisa.

Abstract: In this study we propose an Exponential Augmented Lagrangian Method to the resolution of the General Equilibrium Problem. Such a method is an extension of the algorithms presented in (NASRI, 2010). In our proposal, we replaced the classic penalty Rockafellar present in these algorithms by the exponential penalty. Then, we redid the general theory surrounding the new algorithm. The equivalence theory is built via proximal point, ie, from the dual relationship between Augmented Lagrangian and the proximal point, but the regularization term used here is almost distance Bregman, different from the quadratic term used in (NASRI, 2010). To work around possible bad conditioning problems caused by the presence of the exponential penalty, we proceeded to a quadratic adjustment of it. Next, we tested the new method by numerical experiments, considering initially the method with the exponential penalty and then with the quadratic adjusted. To perform the tests, we chose equilibrium problems and Generalized Nash equilibrium problems (GNEPs), which compose a particular class of equilibrium problems. The pure method solved little problems and for problems with larger dimensions, the version with the quadratic adjusted proved to be better. Following, we discuss the numerical results and present the final considerations. Finally, we leave some perspectives of future works and a list of references, which served as support to this research.