Multiextrapolação de Richardson com interpolação para reduzir e estimar o erro de discretização em CFD

Abstract

Resumo: A principal motivação deste trabalho consiste no aperfeiçoamento de métodos adotados para reduzir e estimar erros de discretização em CFD. Com esse propósito, analisa-se o desempenho de Multiextrapolação de Richardson (MER) e propõe-se a classificação em cinco tipos de variáveis de acordo com as suas localizações em malhas distintas. Desses tipos, o emprego de MER é abordado com sucesso na literatura apenas em variáveis globais ou que possuem localização nodal fixa em malhas distintas (primeiro tipo). Para os demais casos, MER não é empregada ou é considerada como de baixo desempenho. Nesse contexto, buscase o desenvolvimento de estratégias, aplicáveis a variáveis com coordenadas móvel ou fixa, porém não coincidentes com um ponto nodal. Propõe-se um conjunto de procedimentos numéricos que, juntamente com MER, permitem reduzir o erro de discretização. Para isso, considera-se o uso de funções de interpolação polinomial, em domínios uni e bidimensionais e, em alguns casos, também o emprego de técnicas de otimização. Com o emprego da metodologia proposta, MER tem seu desempenho melhorado: a magnitude dos erros de discretização reduz-se progressivamente com o refinamento de malha, com um concomitante aumento das suas ordens efetiva e aparente. Com relação às estimativas para o erro de discretização, analisa-se o desempenho de alguns estimadores disponíveis na literatura, sendo que suas expressões são adaptadas para MER. Uma nova proposta de estimador para MER é apresentada. Tal abordagem baseia-se na ordem de acurácia prática, calculada a posteriori das soluções numéricas, e mostrou-se acurada e confiável. Como problemas-modelo são considerados: equação de Poisson, equação de advecção-difusão e equações de Burgers. A discretização dessas equações é realizada utilizando-se o Método de Diferenças Finitas ou o Método de Volumes Finitos.

Abstract: The main motivation for this work consists on the improvement of adopted methods to reduce and estimate the discretization error in CFD. With this purpose, the performance of the Repeated Richardson Extrapolation (RRE) is analyzed, especially proposed for five types of variables, which are classified according to their location in different grids. For all these types of variables, the use of RRE is successful, in literature, only for global variables or the ones which preserve their fixed nodal location in distinct grids (first type of variable). For all remaining cases, RRE is not used or presents low performance. Based on these facts, the development of applicable strategies is sought for cases, in which variables do not present fixed coordinates or, even when they are fixed, they are not coincident to any nodal point. A set of numerical procedures is proposed, and associated to RRE, allow the reduction of the discretization error. To achieve these objectives, the use of polynomial interpolation functions, for both one- and two-dimensional problems, is analyzed; for some cases, also optimization techniques are employed to search for extreme points. Based on the use of the proposed methodology, RRE presents its performance improved: the magnitude of the discretization error progressively reduces with the grid refinement, until the achievement of the round-off error, associated to a concomitant increasing of effective and apparent error orders. Regarding to the discretization error estimates, the performance of some estimators available in literature is analyzed, by adapting their expressions for RRE. Also a new estimator for RRE is presented. Such approach is based on the practical accuracy order, evaluated a posteriori and based on the numerical solutions. The considered model problems are: the Poisson-type, the advection-diffusion and the Burgers equations. Such equations are discretized by using the Finite Difference or the Finite Volume Methods.