Redução do erro de iteração e aceleração do método Multigrid com uso de extrapoladores

Abstract

Resumo: Determinar a solução de sistemas de equações lineares e não-lineares é um problema importante em Matemática Computacional. Métodos iterativos são amplamente utilizados para este fim. Entretanto, tais métodos podem convergir lentamente. Nas últimas décadas, um grande avanço na aceleração da taxa de convergência de processos iterativos se deu pelo desenvolvimento do método Multigrid. Outra forma de acelerar a convergência do método iterativo é utilizar um método de extrapolação associado ao processo iterativo. Alguns autores obtiveram resultados promissores com o estudo da combinação de métodos iterativos com métodos de extrapolação, o que mostra ser uma alternativa viável e promissora para aceleração de convergência. Neste trabalho foi resolvido numericamente o problema de condução de calor linear bidimensional, governado pela equação de Poisson, com condições de contorno de Dirichlet. Utilizou-se o Método das Diferenças Finitas (MDF), com esquema de aproximação de segunda ordem (CDS) para discretização do modelo matemático. Para a obtenção da solução, foi empregado o método Multigrid geométrico, solver Gauss-Seidel redblack, com esquema de correção (CS), restrição por ponderação completa, prolongação por interpolação bilinear e número máximo de níveis para os diversos casos estudados. Foram associados ao final do Multigrid os seguintes extrapoladores: Aitken, Empírico, Mitin, Épsilon escalar, Rho escalar, Épsilon topológico, Rho topológico, Múltipla extrapolação de Aitken e Múltipla extrapolação de Mitin. Durante o Multigrid, foi usado apenas o extrapolador Épsilon topológico. Os resultados podem ser considerados positivos, pois se verificou, entre outros, que o uso de extrapoladores associados ao método Multigrid reduz de forma satisfatória a magnitude do erro de iteração, do resíduo adimensionalizado com base na estimativa inicial e do fator de convergência, em um tempo praticamente equivalente ao da aplicação do método Multigrid puro ou apresentando uma leve melhoria de desempenho sobre o mesmo.

Abstract: The determination of solutions for linear and non-linear systems of equations is an important Computational Mathematics problem. Iterative methods are widely used in these situations. Otherwise, these methods present slow convergence. For the last decades, significant advances in the acceleration of the convergence rates have been obtained by the development of the Multigrid Method. Moreover, another way to speed-up the convergence of an iterative method is based on the use of an extrapolation method associated to the iterative process. Some authors have already obtained promising results by studying the combination of iterative methods and extrapolation ones, being a viable choice for the acceleration of convergence rates. In the present work a two-dimensional linear heat transfer conduction problem, given by a Poisson-type equation with Dirichlet boundary conditions, was numerically solved. The numerical model was obtained by the use of the Finite Difference Method (FDM) with a second-order (CDS) approximation scheme. In order to achieve the numerical solution, the Geometric Multigrid Method was used, associated to the Gauss-Seidel Red-Black solver, correction scheme (CS), full-weighting scheme for restriction, bilinear interpolation for prolongation and the maximum number of levels for each one of the studied cases. At the end of the Multigrid, the following interpolators were employed: Aitken, Empiric, Mitin, scalar Epsilon, scalar Rho, topological Epsilon, topological Rho, repeated Aitken extrapolation and repeated Mitin extrapolation. During the Multigrid, only the topological Epsilon extrapolator was used. Numerical results can be evaluated positively, once the extrapolators associated to the Multigrid Method satisfactorily reduce the magnitudes of the iteration error, the non-dimensional residual based on the initial guess and the convergence factor, spending a time interval nearly equivalent to the application of the pure Multigrid algorithm or even presenting a small performance improvement when compared to the basic Multigrid.