Estudo da estabilidade do método dos elementos finitos generalizados aplicado à análise dinâmica

Abstract

Resumo: No contexto da analise dinâmica de estruturas, uma das limitações do Método dos Elementos Finitos (MEF) e a dificuldade de aproximar as altas frequências. Essa falta de precisão se torna mais significativa à medida que os carregamentos excitem os modos com frequências mais altas. Visando abordar esse tipo de problema é possível utilizar o Método dos Elementos Finitos Generalizados/ Estendido (MEFG/MEFE) para enriquecer o espaço de aproximação e representar melhor esses modos de alta frequência. Apesar das excelentes propriedades do MEFG/MEFE como alta acurasse versatilidade de aplicação e excelentes taxas de convergência, há aspectos que ainda limitam sua aplicabilidade como a instabilidade numérica associada ao processo de enriquecimento presente mesmo em problemas de valor de contorno bem postos. As matrizes do MEFG/MEFE podem ser consideravelmente mal-condicionadas, podendo resultar em uma perda de acurácia da aproximação, e até mesmo resultando em matrizes numericamente singulares. Assim, neste trabalho apresentam-se duas propostas para contornar o problema de sensibilidade do MEFG: uma adaptação do Método dos Elementos Finito Generalizado Estabilizado voltado a Análise Dinâmica e uma estratégia de pré-condicionamento das funções de enriquecimento. Diversos exemplos unidimensionais de análise modal e transiente são apresentados e seus resultados são discutidos, mostrando que as implementações propostas possibilitam captar melhor frequências mais elevadas, melhorando a representatividade do espectro. Observando o ganho de estabilidade numérica proporcionado pela adoção da estratégia de pré - condicionamento das funções de enriquecimento, estendeu-se sua proposta a análise modal bidimensional, onde a instabilidade numérica do refino p pode ser então contornada, implicando em consequente ganho de acurasse no espectro de frequência.

Abstract: In the context of dynamic analysis of structures, one of the limitations of the Finite Element Method (FEM) is the difficulty of approaching the high frequencies. This lack of precision becomes more significant as the loading excite modes with higher frequencies. Aiming at address this problem one may use the Finite Element Method Generalized / Extended (GFEM / XFEM) to enrich the approximation space and better represent these high frequency modes. Despite the excellent properties of GFEM / XFEM as high accuracy, application versatility and excellent convergence rates, there are aspects that still limit its applicability as the numerical instability associated with this enrichment process even in well-placed boundary value problems. GFEM/XFEM matrices may be ill-conditioned, which may result in a accuracy loss, and even resulting in numerically singular matrices. In this work two proposals are presented to circumvent the GFEM sensitivity problem: an adaptation of the Stabilized Generalized Finite Element Method applied to Dynamic Analysis and a pre-conditioning of enrichment functions. Several examples of one-dimensional modal and transient analysis are presented and results are discussed, showing that the proposed implementations allow to better capture higher frequencies, improving representation of the spectrum. Considering the numerical stability provided by the adoption of preconditioning of enrichment functions strategy, its proposal was extended to the two-dimensional modal analysis enabling to