Dinâmica não linear do modelo da interação de quatro ondas conservativa

Abstract

Resumo: Interações onda-onda envolvendo ondas não lineares de alta frequência são fenômenos comuns em uma variedade de circunstâncias. Tais processos podem ser vistos ocorrendo em diversas situações físicas. Exemplos disto podem ser encontrados em ótica não linear, plasmas espacias e experimentos de plasma em laboratórios. Uma das interações onda-onda mais estudadas é o bem conhecido acoplamento tripleto-tripleto, chamado de processo de quatro ondas, onde cada tripleto compartilha dois modos em comum. Em um regime fracamente não linear, devido as interações não-lineares, as amplitudes das ondas desenvolvem lentas modulações no espaço/tempo tal que são mais lentas do que as altas frequências das ondas envolvidas. Neste caso podemos obter equações simplificadas descrevendo a dinâmica da lenta variação das amplitudes das ondas. A dinâmica apresentada pelas equações das amplitudes das interações tripleto-tripleto é o tópico desta dissertação. Aqui consideramos o caso da interação conservativa. Para o caso de condições de perfeita ressonância a dinâmica é integrável. Quando é suposto uma pequena frequência de descasamento do caso ressonante, a dinâmica para as equações de amplitude podem ser caóticas e o sistema apresenta o caso bem conhecido do problema de sistemas Hamiltonianos caóticos com dois graus de liberdade. Um dos tópicos estudados aqui é o caso onde a condição de ressonância varia com o tempo. Neste caso o cenário apresentado por um problema conservativo com dois graus de liberdade não é mais válido. De fato a presença da variação temporal na frequência de descasamento leva o sistema apresentar comportamento difusivo no espaço de fase. A difusão ocorre porque neste caso, as surperfícies KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) não separam mais as regiões regulares das caóticas, isto é devido elas unirem-se em uma teia de estocasticidade - a teia de Arnold. Nós fornecemos evidências do comportamento difusivo quando o sistema tem mais do que dois graus de liberdade.

Abstract: Wave-wave interaction processes involving high-frequency nonlinear waves are common phenomena in a variety of circumstances. Such processes can be seen to occur in a wide range of physical situations. Examples of that can be find in nonlinear optical physics, space plasmas and laboratory plasmas experiments. One of the most studied wave-wave interactions is the well known triplet-triplet wave coupling, namely the four wave process, where each triplet shares two common modes. In a weak nonlinear regime, due to nonlinear interactions, the wave amplitudes develop slow modulations in space and/or time that are slower than the high frequencies of the waves involved. In this case one can obtain simplified equations describing the dynamics of the slowly varying amplitudes of the wave. The dynamics presented by such amplitude equations for the triplet-triplet interactions is the topic of the present dissertation. Here we consider the conservative case of the interaction. For perfect resonant conditions the dynamics is integrable. When a small time independent mismatch for the resonant frequency condition is supposed, the dynamics for the amplitude equations can be chaotic and the system presents the well known case of the two degrees of freedom Hamiltonian chaotic problem. The main topic analyzed here is the case where the resonant condition varies in time. In this case the scenario presented by the two degrees of freedom conservative problem is not valid anymore. In fact the presence of time varying frequency mismatch leads the system to present diffusion behavior in phase space. The diffusion occurs because in this case, KAM surfaces do not separate regular trajectories from chaotic ones, such that they are united into a web of stochasticity - the Arnold web. We provide numerical evidences of the diffusive behavior when the system has more than two degrees of freedom.