Efeito de cantos em bilhares abertos e mapa quântico generalizado para sistemas dinâmicos em banhos estruturados

Abstract

Resumo: Nesta tese estudamos partículas em bilhares e em banhos estruturados. Embora sendo dois problemas não diretamente correlacionados, a característica em comum é que ambos tratam de uma partícula livre sujeita a impulsos momentâneos. No primeiro caso, bilhares, os impulsos são consequências das colisões sofridas pela partícula nas paredes do bilhar. Para esse problema consideramos um bilhar clássico aberto onde a sua estrutura influencia diretamente na dinâmica de interesse dentro do bilhar. Mostramos que a simples modificação geométrica dos cantos de um bilhar retangular, para um formato arredondado, pode modificar drasticamente seu comportamento, gerando uma dinâmica bastante variada, inclusive caótica. Identificamos o surgimento de dinâmica complexa que começa num intervalo de condições iniciais específicas e cresce através de faixas com o aumento do parâmetro de não linearidade. Mostramos que essas estruturas em formas de faixas podem ser identificadas em outro sistema dinâmico. No segundo problema, o de banhos estruturados, nossa análise é feita do ponto de vista quântico. Consideramos um sistema, que na verdade é uma partícula livre, acoplado a um banho finito de osciladores harmônicos que estão desacoplados entre si. Tanto o sistema quanto o banho recebem quiques periódicos, que são um efeito "liga-desliga". Cada oscilador do banho finito representa um canal de saída, onde a energia pode fluir para o banho quando ocorre o quique. Este modelo é extremamente geral pois o mapa generalizado que derivamos tem a forma parecida com uma equação de Langevin generalizada. Neste caso as propriedades do banho sobre o sistema de interesse são observadas através do teorema flutuação-dissipação. Derivamos soluções em forma de mapas que mostram o surgimento natural da dissipação gerada pelo banho.

Abstract: In this work we study particles in billiards and structured baths. Although both problems are not directly correlated, the common feature is that they deal with a free particle subjected to instantaneous impulses. In the billiard case, impulses arise from elastic collisions suffered by the particle with the boundary of the billiards. For this problem we consider a classical open billiards where its structure directly influences the dynamics of interest. We show that the simple geometric modification of the comers of a rectangular billiard into a rounded comer, can drastically modify the behavior generating a rich and complex dynamics, including the chaotic one. The complex dynamics emerges inside specific initial conditions forming chaotic stripes as the nonlinear parameter is increased. We show that such chaotic stripes can also be identified in other dynamical system. In the second problem, the structured baths, our analysis is performed for a quantum system. We consider a system, which is actually a free particle coupled to a bath of finite uncoupled harmonic oscillators. The system and the bath are subject to periodic kicks, which represent an "on-off" effect. Each bath oscillator is a channel where the energy may flow into the bath when the kick occurs. This model is very general because the derived quantum map is similar to a generalized Langevin equation. In this case the influence of the bath on the system of interest is observed through the fluctuation-dissipation theorem. We derive solutions in the form of maps showing the natural appearance of dissipation generated by the bath.