Soluções muito fracas para o problema de Stokes
Resumo
Resumo: O Problema de Stokes será estudado neste trabalho sob o prisma das soluções muito fracas. Tal problema é caracterizado da seguinte maneira: encontrar um par de funções (u; q), solução das equações: (S) 8>< >: ..u + rq = f em ; divu = h em ; u = g sobre ..; onde é um conjunto aberto, limitado, conexo e Lipschitz de R3 com fronteira ..; f; h funções denidas em e g função denida sobre ..; h e g atisfazendo condições de compatibilidades adequadas. O artigo Stationary Stokes, Oseen and avier-Stokes equations with singular data , dos autores Chérif Amrouche e M. Ángeles Rodríguez-Bellido, presenta resultados do Problema de Stokes com o conceito de solução muito fraca. Esta denição diz que: para quaisquer ' 2 Y p0( ) e 2 W1;p0 ( ), o par (u; q) 2 Lp( ) W..1;p( ) é solução de muito fraca de S) se as seguintes igualdades valerem: .. Z u 'dx.. < q; div' > W..1;p( );W 1;p0 0 ( ) = < f;' > [Xr0;p0 ()] ;Xr0;p0 ( ) .. < g ; @' @n > W..1=p;p(..);W1=p;p0 (..) e Z u rdx = .. Z hdx+ < g n; > .1=p;p(..);W1=p;p0 (..) : Com 1 < r; p < 1; 1 r 1 p + 1 3 ; 1 p + 1 p0 = 1; 1 r + 1 r0 = 1 Abstract: The Stokes Problem will be studied in this work in the light of very weak solutions. Such problem is characterized as follows: nd a pair of functions (u; q), to be solution of the equations: (S) 8>< >: ..u + rq = f em ; divu = h em ; u = g sobre ..; where is an open, bounded,connected and ipschitz subset of R3 with boundary ..; f; h functions dened in and g a function dened on ..; h and g atisfying appropriate compatibility conditions. The Article Stationary Stokes, Oseen and Navier-Stokes ations with singular data , of the authors and M. Cherif Amrouche Ángeles Rodríguez-Bellido, presents ults of Stokes Problem with the concept of very weak solution. This denition says that: for any ' 2 Y p0( ) and 2 W1;p0 ( ), a pair (u; q) 2 Lp( ) W..1;p( ) is a very weak solution of (S) if the following equalities old: .. Z u 'dx.. < q; div' > W..1;p( );W 1;p0 0 ( ) = < f;' > [Xr0;p0 ( )] ;Xr0;p0 ( ) .. < g ; @' @n 1=p;p(..);W1=p;p0 (..) e Z u rdx = .. Z hdx+ < g n; > W..1=p;p(..);W1=p;p0 (..) : With 1 < r; p < 1; 1 r 1 p + 1 3 ; 1 p + p0 = 1; 1 r + 1 r0 = 1
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