Verificação da forma de aplicar condições de contorno em problemas unidimensionais com o método dos volumes finitos

Abstract

Resumo: O enfoque deste trabalho é verificar o efeito sobre o erro de discretização e sua ordem causado pela forma de aplicar as condições de contorno, em problemas resolvidos com o método dos volumes finitos. Para tanto, são considerados: equações de Poisson, advecçãodifusão e Burgers; domínio unidimensional; malhas uniformes; sete variáveis de interesse com aproximações numéricas de primeira e segunda ordens de acurácia; condições de contorno de Dirichlet; solver tridiagonal; malhas com até milhões de nós; precisão quádrupla; e número de iterações suficiente para atingir o erro de arredondamento de máquina. As formas de aplicar as condições de contorno consideradas são quatro: sem e com volume fictício; meio-volume; e volume de espessura zero. As variáveis de interesse são: variável obtida em x = 1/ 2 ; variável média; média da norma; e derivada de primeira ordem. A principal conclusão é que a forma de aplicar condições de contorno com meio-volume resulta, em geral, no menor erro numérico. Além disso, constatou-se a influência do efeito advectivo presente nas equações de advecção-difusão e Burgers. Finalmente, verificou-se que ao erro de truncamento está implícito o conceito de erro de poluição, que degenerou a ordem do erro numérico da derivada de primeira ordem, dos três problemas estudados com as formas sem e com volume fictício e volume de espessura zero.

Abstract: The focus of this work is the verification of the effect on the error discretization and its order caused by the boundary conditions application methodology, in problems solved with the finite volume method. In order to do this, the following aspects are considered: the Poisson, the adveccion-diffusion and the Burgers equations; one-dimensional domain; uniform grids; seven variables of interest with numerical interpolation schemes of first and second accuracy order; Dirichlet boundary conditions; tridiagonal solver; grids with up to millions of volumes; quadruple precision; and a number of iterations large enough to reach the machine round-off error. The boundary condition application methodologies considered are four: without and with ghost volumes; half-volume; and volume of zero thickness. The variables of interest are: the primary variable obtained in x = 1/ 2 ; the average of the primary variable; the norm average; and the first order derivative. The main result is the fact that the half-volume boundary condition methodology had the smallest numeric error. Besides, the influence of the presence of the advective effect was verified in the adveccion-diffusion and the Burgers equations. Finally, it was verified that the concept of pollution error is implicit at the roundoff error, which changed the order of the numeric error of the first order derivative, of the three studied problems: without and with ghost volumes and with volume of zero thickness.